Fondamenti Matematici della Teoria Classica dei Campi

Questo libro è scritto per studenti della laurea magistrale in Fisica o in Matematica che desiderano apprendere i fondamenti della teoria classica dei campi, con particolare riguardo al linguaggio matematico ed alle applicazioni fisiche. Ciò che lo rende unico è la visione d'insieme che lo studente acquisisce, come pure lo stimolo a sviluppare il pensiero astratto in varie forme. Nel primo capitolo mi raccordo ai corsi di elettrodinamica classica. Nel secondo capitolo sono introdotti alcuni concetti di algebra astratta che non vengono insegnati in corsi obbligatori per gli studenti di Fisica. Nel terzo capitolo si studiano le varietà topologiche e le varietà differenziabili, mentre il quarto capitolo studia le varietà regolari di R^{n}, che possono essere applicate per comprendere le varietà vincolari dei capitoli 25 e 26. I capitoli dal 5 al 7 svolgono il calcolo su varietà senza mai far uso di metriche. A volte gli studenti sono bloccati dal potere di sintesi della notazione moderna, dunque ho cercato di svolgere in dettaglio vari calcoli ed esempi e controesempi. I capitoli da 8 a 12 sono dedicati ai gruppi topologici, i gruppi di Lie e le algebre di Lie, e alle loro applicazioni fisiche. La geometria riemanniana viene studiata nei capitoli da 13 a 17, mentre la teoria dei fibrati principali e vettoriali viene introdotta nei capitoli da 18 a 20. Nel capitolo 21 si studia il nastro di Möbius, mentre il capitolo 22 approfondisce la fibrazione di Hopf in modo pedagogico. Principi variazionali e simmetrie sono studiati nei capitoli 23 e 24. Nel capitolo 25 vengono studiati i sistemi hamiltoniani soggetti a vincoli, poiché in essi rientrano anche tutte le teorie di gauge delle interazioni fondamentali. Infatti il capitolo 26 applica tale teoria all'elettrodinamica nello spaziotempo di Minkowski. Nel capitolo 27 si studia poi l'elettrodinamica classica in spaziotempo curvo, e vengono confrontati in modo pedagogico i linguaggi vettoriale, tensoriale e delle forme differenziali, con applicazione ai potenziali di Hertz. La relatività generale viene delineata nel capitolo 28: il principio di equivalenza, il principio di covarianza generale, il funzionale d'azione. La teoria dei gruppi di Lie a dimensione infinita viene introdotta nel capitolo 29, dimostrando alfine il teorema di Freifeld: esistono diffeomorfismi arbitrariamente prossimi all'identità che non giacciono su sottogruppi ad un parametro. Le trasformazioni lineari frazionarie usate nel capitolo 11 per studiare il gruppo di Lorentz vengono classificate in ellittiche, paraboliche, iperboliche e lossodromiche nel capitolo 30. Nel capitolo 31 si dimostra il teorema di Hodge sullo spazio delle forme lisce su una varietà di Riemann. Nel capitolo 32 il lettore apprende che tutte le teorie di gauge note ricadono nelle famiglie di tipo I, II e III, in base alla forma delle parentesi di Lie dei campi vettoriali che lasciano invariato il funzionale d'azione. Inoltre, esiste una forma di connessione nonlocale per tutte le teorie di gauge. Questo capitolo prepara gli studenti che poi, studiando la fisica quantistica, vorranno apprendere l'approccio globale alla teoria quantistica dei campi in corsi successivi.