Differentialgleichungen und Mathematische Modellbildung

Nail H. Ibragimov, Blekinge Institute of Technology, Sweden; Jörg Volkmann, Germany.

• 1 Ausgewählte Kapitel der Analysis1.1 Elementare MathemaTIK1.1.1 Zahlen, Variable und elementare Funktionen1.1.2 Quadratische und kubische Gleichungen1.1.3 Inhalte ähnlicher Figuren am Beispiel der Ellipse#1.1.4 Algebraische Kurven zweiter Ordnung1.2 Differential- und Integralrechnung1.2.1 Regeln zur Differentiation1.2.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung1.2.3 Invarianzeigenschft der Differentiale1.2.4 Regeln zur Integration1.2.5 Die Taylor-Reihe1.2.6 Komplexe Variable1.2.7 Approximation von Funktionen1.2.8 Jacobi-Matrix, funktionale Unabhängigkeit, Variablentransformation in Mehrfachintegralen1.2.9 Lineare Unabhängigkeit von Funktionen. Die Wronski-Determinante1.2.10 Integration durch Quadratur1.2.11 Differentialgleichungen für Familien von Kurven1.3 Vektoranalysis1.3.1 Vektoralgebra1.3.2 Vektorwertige Funktionen1.3.3 Vektorfelder1.3.4 Die drei klassischen Integralsätze1.3.5 Die Laplace-Gleichung1.3.6 Differentiation von Determinanten1.4 Differential-algebraische Notationen1.4.1 Differentierbare Variablen. Totale Ableitungen1.4.2 Höhere Ableitungen von Produkten und zusammengesetzten Funktionen1.4.3 Differentialfunktionen mehrerer Veränderlicher1.4.4 Der Körper der Differentialgleichungen1.4.5 Transformation von Ableitungen1.5 Variationsrechnung1.5.1 Prinzip vom kleinsten Zwang1.5.2 Die Euler-Lagrange-Gleichungen in mehreren VeränderlichenAufgaben zu Kapitel 1 2. Mathematische Modelle2.1 Einleitung2.2 Natur-Phenomene2.2.1 Polulationsmodelle2.2.2 Ökologie: Radioaktive Abfallprodukte2.2.3 Die Keplerschen Gesetze und Newtons Gravitationsgesetz2.2.4 Der freie Fall eines Körpers in Erdnähe2.2.5 Meteoriten2.2.6 Ein Modell für fallenden Regen2.3 Beispiele aus Physik und Ingenieurswesen2.3.1 Newtons Abkühlgesetz2.3.2 Mechanische Schwingungen. Das Pendel2.3.3 Der Bruch betriebener Achsen2.3.4 Die van der Pol-sche Gleichung2.3.5 Telegraphengleichung2.3.6 Elektrodynamik2.3.7 Die Dirac-Gleichung2.3.8 Strömungsmechanik2.3.9 Die Navier-Stokes-Gleichungen2.3.10 Modell eines Bewässerungssystems2.3.11 Magnetohydrodynamik2.4 Diffusionsphenomene2.4.1 Die lineare Wärmeleitungsgleichung2.4.2 Die nichtlineare Wärmeleitungsgleichung2.4.3 Die Burgers- und Korteweg-de-Vries Gleichung2.4.4 Mathematisches Modellieren in der Finanzwirtschaft2.5 Biomathematik2.5.1 Flinke Champignons2.5.2 Ein Wachstumsmodell für Tumore2.6 Wellenphenomene2.6.1 Kleine Schwingungen eines Stabes2.6.2 Die schwingende Membran2.6.3 Minimalflächen2.6.4 Schwingungen schwacher Stäbe und Blechplatten2.6.5 Nichtlineare Wellen2.6.6 Die Gleichungen von Chaplygin und TricomiAufgaben zu Kapitel 2 3. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Traditionelle Methoden3.1 Einführung und elementare Methoden3.1.1 Differentialgleichungen. Anfangswertprobleme3.1.2 Die Integration der Gleichung y^(n) = f(x)3.1.3 Homogene Differentialgleichungen3.1.4 Verschiedene Arten der Homogenität3.1.5 Reduktion der Ordnung3.1.6 Linearisierung durch Differentiation3.2 Gleichungen erster Ordnung3.2.1 Separable Gleichungen3.2.2 Exakte Gleichungen3.2.3 Integrierender Faktor (A. Clairaut 1739)3.2.4 Riccati- Gleichung3.2.5 Bernoulli-Gleichung3.2.6 Homogene lineare Gleichung3.2.7 Inhomogene lineare Gleichungen. Variation der Konstanten3.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung3.3.1 Homogene Gleichungen. Superposition3.3.2 Homogene Gleichungen. Äquivalenz-Eigenschaften3.3.3 Homogene Gleichungen. Konstante Koeffizienten3.3.4 Inhomogene Gleichungen. Variation der Parameter3.3.5 Besselsche Differentialgleichung und die Bessel-Funktionen3.3.6 Die hypergeometrische Gleichung3.4 Lineare Gleichungen höherer Ordnung3.4.1 Homogene Gleichungen. Fundamentallösung3.4.2 Inhomogene Gleichungen. Variation der Konstanten3.4.3 Gleichungen mit konstanten Koeffizienten3.4.4 Die Eulersche Differentialgleichung3.5 Systeme von Gleichungen erster Ordnung3.5.1 Allgemeine Eingenschaften von Systemen3.5.2 Erste Integrale3.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten3.5.4 Variation der Konstanten bei SystemenAufgaben zu Kapitel 3 4. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung4.1 Einführung4.2 Homogene lineare Gleichungen4.3 Teilweise inhomogene Gleichungen4.4 Quasi-lineare Gleichungen4.5 Systeme von homogenen GleichungenAufgaben zu Kapitel 4 5. Lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung+5.1 Gleichungen in mehreren Variablen5.1.1 Klassifikation in einem festen Punkt5.1.2 Adjungierte lineare Differentialoperatoren5.2 Klassifikation von Gleichungen in zwei unabhängigen Variablen5.2.1 Charakteristiken. Drei Typen von Gleichungen5.2.2 Die Standardform hyperbolischer Gleichungen5.2.3 Die Standardform parabolischer Gleichungen5.2.4 Die Standardform elliptischer Gleichungen5.2.5 Gleichungen gemischten Typs5.2.6 Typen nichtlinearer Gleichung5.3 Die Integreation hyperbolischer Gleichungen in zwei Variablen5.3.1 Gleichungen, reduzierbar auf die Wellengleichung5.3.2 Die Methode von Euler5.3.3 Die Laplacesche Kaskadenmethode5.4 Anfangswertprobleme5.4.1 Die Wellengleichung5.4.2 Inhomogene Wellengleichung5.5 Gemischte Probleme. Separation der Variablen5.5.15.5.2 Gemischte Aufgaben für die WärmeleitungsgleichungAufgaben zu Kapitel 5 6. Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen6.1 Einführung6.2 Transformationsgruppen6.2.1 Einparametrige Gruppen in der Ebene6.2.2 Gruppengeneratoren und die Lie-Gleichungen6.2.3 Die Exponentialabbildung6.2.4 Invariante und invariante Gleichungen6.2.5 Kanonische Variable6.3 Symmetrien von Gleichungen erster Ordnung6.3.1 Erste Prolongation des Gruppengenerators6.3.2 Die Symmetrie-Gruppe: Definition und Eigenschaften6.3.3 Gleichungen mit einer gegebenen Symmetrie6.4 Integration von Gleichungen erster Ordnung mittels Symmetrien6.4.1 Der Liesche integrierende Faktor6.4.2 Die Integration unter Anwendung der kanonischen Variablen6.4.3 Invariante Lösungen6.4.4 Erzeugung allgemeiner Lösungen aus invarianten Lösungen6.5 Gleichungen zweiter Ordnung6.5.1 Zweite Prolongation des Gruppengenerators. Berechnung von Symmetrien6.5.2 Lie – Algebren6.5.3 Standardformen zwei-dimensionaler Lie – Algebren6.5.4 Die Liesche Integrationsmethode6.5.5 Integration linearer Gleichungen mit bekannten partikulären Lösungen6.5.6 Der Liesche Test zur Linearisierung6.6 Gleichungen höherer Ordnung6.6.1 Invariante Lösugen. Herleitung des Eulerschen Ansatzes6.6.2 Integrierender Faktor (N. H. Ibragimov 2006)6.6.3 Linearisierung von Gleichungen dritter Ordnung6.7 Nichtlineare Superposition6.7.1 Einführung6.7.2 Hauptsatz zur nichtlinearen Superposition6.7.3 Beispiele nichtlinearer Superposition6.7.4 Integration von Systemen unter Verwendung nichtlinearer SuperpositionAufgaben zu Kapitel 6 7. Nichtlineare partielle Differentialgleichungen7.1 Symmetrien7.1.1 Definition und Berechnung von Symmetriegruppen7.1.2 Gruppentransformation von Lösungen7.2 Gruppen-invariante Lösungen7.2.1 Einführung7.2.2 Die Burgers Gleichung7.2.3 Ein nichtlineares Randwertproblem7.2.4 Invariante Lösungen für ein nichtlineares Randwertproblem7.2.5 Invariante Lösungen für ein Tumor-Wachstumsmodell7.2.6 Ein Beispiel aus der nichtlinearen Optik7.3 Invarianz und Erhaltungssätze7.3.1 Einführung7.3.2 Vorbemerkungen7.3.3 Das Noethersche Theorem7.3.4 Lagrange-Funktionen höherer Ordnung7.3.5 Erhaltungssätze für gewöhnliche Differentialgleichungen7.3.6 Verallgemeinerung des Noetherschen Theorems7.3.7 Beispiele aus der klassischen Mechanik7.3.8 Herleitung der Einsteinschen Gleichung für die Energie7.3.9 Erhaltungssäte der Dirac-GleichungAufgaben zu Kapitel 7 8. Verallgemeinerte Funktionen. Distributionen8.1 Einführung verallgemeinerter Funktionen8.1.1 Heuristische Betrachtungen8.1.2 Definition und Beispiele von Distributionen8.1.3 Darstellung der Delta-Funktion als Grenzwert8.2 Operationen mit Distributionen8.2.1 Multiplikation mit einer Funktion8.2.2 Differentiation8.2.3 Direktes Produkt von Distributionen8.2.4 Faltungen8.3 Die Distribution Delta(r^(2-n))8.3.1 Der Mittelwert über den Raum8.3.2 Die Lösung der Laplace-Gleichung Delta v(r) = 08.3.3 Berechnung der Distribution Delta(r^(2-n))8.4 Transformation von Distributionen8.4.1 Motivation durch lineare Transformationen8.4.2 Transformation der Delta-Funktion8.4.3 Beliebige Transformationsgruppen8.4.4 Infinitesimale Transformation von DistributionenAufgaben zu Kapitel 89. Invarianzprinzip und Fundamentallösung9.1 Einführung9.2 Invarianzprinzip9.2.1 Formulierung des Invarianzprinzips9.2.2 Fundamentallösung für lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten9.2.3 Anwendung auf die Laplace-Gleichung9.2.4 Anwendung auf die Wärmeleitungsgleichung9.3 Das Cauchy-Problem der Wärmeleitungsgleichung9.3.1 Fundamentallösung des Cauchy-Problems9.3.2 Herleitung der Fundamentallölsung des Cauchy-Problems aus dem Invarianz-Prinzip9.3.3 Lösung des Cauchy-Problems9.4 Die Wellengleichung9.4.1 Betrachtungen zu Differentialformen9.4.2 Beleibige Gleichungen mit Distributionen9.4.3 Symmetrien und Definition der Fundamentallösungen für die Wellengleicihung9.4.4 Ableitung der Fundamentallösung9.4.5 Lösung des Cauchy-Problems9.5 Gleichungen mit variablen Koeffizienten Aufgaben zu KapitelLösungenBibliographie