Analysis für Dummies

Mark Ryan studierte unter anderem an der Brown University und lehrt seit 1989 Mathematik. Als Leiter eines Mathematik-Zentrums gibt er außerdem Kurse und Workshops für höhere Mathematik.

• Über den Autor 11Einführung 23Über dieses Buch 23Konventionen in diesem Buch 24Wie Sie dieses Buch einsetzen 24Törichte Annahmen über den Leser 25Wie dieses Buch aufgebaut ist 25Teil I: Analysis – ein Überblick 25Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 25Teil III: Grenzwerte 26Teil IV: Differenziation 26Teil V: Integration und unendliche Reihen 26Teil VI: Der Top-Ten-Teil 27Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 27Wie es weitergeht 27Teil I: Analysis – ein Überblick 29Kapitel 1 Was ist Analysis? 31Was Analysis nicht ist 31Was also ist Analysis? 32Beispiele für die Analysis aus der Praxis 34Kapitel 2 Die beiden wichtigsten Konzepte der Analysis: Differenziation und Integration 37Differenziation – Definition 37Die Ableitung ist eine Steigung 37Die Ableitung ist eine Änderungsrate 39Und jetzt zur Integration 40Unendliche Reihen 41Divergierende Reihen 42Konvergierende Reihen 42Kapitel 3 Warum die Analysis funktioniert 45Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop 45Was passiert beim Vergrößern? 46Zwei Warnungen – nur zur Vorsicht 49Ich könnte meine Lizenz verlieren, Mathematik zu betreiben 49Und was um alles in der Welt bedeutet »unendlich« eigentlich? 49Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 51Kapitel 4 Überblick über Vor-Algebra und Algebra 53Was Sie über Brüche wissen sollten 53Ein paar schnelle Regeln 54Brüche multiplizieren 54Brüche dividieren 54Brüche addieren 55Brüche subtrahieren 58Brüche kürzen 58Betrag (Absolutwert) – absolut einfach 60Potenzen machen stark 61Zu den Wurzeln der Wurzeln 62Wurzeln, überall Wurzeln! 62Wurzeln vereinfachen 63Logarithmen … wirklich keine Hexerei 64Faktorisieren – wer braucht denn so was? 65Den größten gemeinsamen Teiler herausziehen 65Die Mustersuche 66Faktorisierung quadratischer Polynome 67Quadratische Gleichungen lösen 67Methode 1: Faktorisieren 67Methode 2: Die abc-Formel oder Mitternachtsformel 69Methode 3: Quadratische Ergänzung 70Kapitel 5 Verrückte Funktionen und ihre wunderbaren Graphen 73Was ist eine Funktion? 73Die definierende Eigenschaft einer Funktion 74Unabhängige und abhängige Variablen 76Funktionsnotation 77Verkettete Funktionen 77Wie sieht eine Funktion aus? 79Allgemeine Funktionen und ihre Graphen 80Geradeheraus – Geraden in der Ebene 80Parabel- und Betragsfunktionen – gerade heraus 84Einige ungerade Funktionen 85Exponentialfunktionen 85Logarithmusfunktionen 86Inverse Funktionen 87Schieben, spiegeln, dehnen, stauchen 88Horizontale Transformationen 89Vertikale Transformationen 90Kapitel 6 Trigonometrie ist Trumpf! 93Trigonometrie im Crashkurs 93Zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke 95Das 45∘-45∘-90∘-Dreieck 95Das 30∘-60∘-90∘-Dreieck 96Im Einheitskreis gefangen! 97Winkel im Einheitskreis 98Winkel im Bogenmaß messen 98Liebling, ich habe die Hypotenuse geschrumpft! 99Und jetzt das Ganze zusammen 100Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 102Inverse trigonometrische Funktionen 104Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 107Teil III: Grenzwerte 109Kapitel 7 Grenzwerte und Stetigkeit 111Bis an die Grenzen – NEIN 111Drei Funktionen erklären den Grenzwert 112Einseitige Betrachtungen 115Einseitige und zweiseitige Grenzwerte: Der Teil und das Ganze! 116Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 117Grenzwerte im Unendlichen – haben Sie gute Schuhe an? 119Die Momentangeschwindigkeit berechnen – mithilfe von Grenzwerten 119Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 122Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 123Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 124Drei Bedingungen für die Stetigkeit 126Die 33333-Eselsbrücke für den Grenzwert 126Kapitel 8 Grenzwerte auswerten 129Einfache Grenzwerte 129Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 129Grenzwerte geometrisch bestimmen 130Einsetzen und Einkochen 131Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 132Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 132Grenzwertaufgaben algebraisch lösen 134Guten Appetit – mit einem Grenzwertsandwich 137Grenzwerte bei unendlich auswerten 141Grenzwerte im Unendlichen und horizontale Asymptoten 143Grenzwerte im Unendlichen mit einem Taschenrechner lösen 144Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 145Teil IV: Differenziation 147Kapitel 9 Differenziation – Orientierung 149Differenziation: Such die Steigung! 150Die Steigung einer Geraden 153Die Ableitung einer Geraden 155Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 155Analysis auf dem Spielplatz 155Geschwindigkeit – die uns vertrauteste Änderungsrate 157Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 158Die Ableitung einer Kurve 158Der Differenzenquotient 160Durchschnittliche Änderungsrate und momentane Änderungsrate 167Sein oder Nichtsein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 168Kapitel 10 Regeln für die Differenziation –was sein muss, muss sein! 171Grundlegende Regeln der Differenziation 172Die Konstantenregel 172Die Potenzregel 172Die Faktorregel 174Die Summenregel – die kennen Sie schon 175Die Differenzregel – macht kaum einen Unterschied 175Trigonometrische Funktionen differenzieren 176Exponential- und Logarithmusfunktionen differenzieren 176Differenziationsregeln für Profis – Wir sind die Champions! 178Die Produktregel 178Die Quotientenregel 179Die Kettenregel 181Implizite Differenziation 186Logarithmische Differenziation – der Rhythmus macht’s 188Inverse Funktionen differenzieren 189Ableitungen höherer Ordnung – die Leiter hinabsteigen 191Kapitel 11 Differenziation und die Form von Kurven 193Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 193Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 194Mir fällt einfach keine Reisemetapher für diesen Abschnitt ein: Krümmung und Wendepunkte 195Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 196Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 196Autopanne: Auf dem Gipfel hängen geblieben 196Von nun an geht’s bergab! 196Ihr Reisetagebuch 197Extremwerte finden 198Die kritischen Stellen herausleiern 198Der Test der ersten Ableitung 200Der Test der zweiten Ableitung – Tests, Tests, Tests! 202Absolute Extremwerte für ein abgeschlossenes Intervall finden 205Und wenn der Definitionsbereich kein abgeschlossenes Intervall ist? 208Krümmung und Wendepunkte bestimmen 210Die Graphen von Ableitungen – bis zum Abwinken 212Der Mittelwertsatz – es bleibt einem nichts erspart! 215Die Regel von L’Hôpital: Analysis für den Notfall 218Nicht akzeptable Formen in Form bringen 219Drei weitere nicht akzeptable Formen 220Kapitel 12 Problemlos glücklich: Der Differenziation sei Dank! 223Wie Sie das meiste aus Ihrem Leben machen: Optimierungsprobleme 223Das maximale Volumen einer Schachtel 224Die maximale Fläche eines Weidezauns berechnen – Cowboys unter sich! 226Husch, husch: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung 229Geschwindigkeit und Tempo 231Maximale und minimale Höhe 232Positionsänderung, zurückgelegter Weg und Abstand 233Gummigeruch und Bremsspuren: Beschleunigung und Abbremsen 235Und jetzt alles zusammen 236Voneinander abhängige Änderungsraten 237Einen Ballon aufblasen 237Einen Trog auffüllen 240Schnallen Sie sich an: Wir nähern uns einer Analysiskreuzung 242Tangenten und Normalen: Auf die Spitze getrieben 245Die Aufgabenstellung mit der Tangente 245Und jetzt zur Normale 247Leichtes Spiel mit linearen Näherungen 250Aufgabenstellungen aus der Geschäftswelt und aus der Wirtschaft 253Verwaltung von Grenzkosten in der Wirtschaft 253Teil V: Integration und unendliche Reihen 261Kapitel 13 Integration und Flächenberechnung – ein Einstieg 263Integration: Einfach eine seltsame Addition 263Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 266Der Umgang mit negativen Flächen 269Flächen annähern 270Flächen mithilfe linker Summen annähern 270Flächen mithilfe rechter Summen annähern 273Flächen mit Mittelpunktsummen annähern 275Die Summennotation 277Die Grundlagen summieren 278Riemann-Summen in Sigma-Notation 278Flächeninhalte mithilfe des bestimmten Integrals exakt bestimmen 282Flächen annähern mit der Trapezregel und der Simpson-Regel 286Die Trapezregel 287Die Simpson-Regel – Thomas (1710–1761), nicht Homer (1987–) 289Kapitel 14 Integration: Die Rückwärtsdifferenziation 291Stammfunktionen suchen – die umgekehrte Differenziation 291Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 293Die müßige Flächenfunktion 294Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 297Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Teil 2 301Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung 1 304Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung 2 306Warum der Hauptsatz funktioniert: Die Verbindung zwischen Integration und Differenziation 307Stammfunktionen finden: Drei grundlegende Techniken 309Umkehrregeln für Stammfunktionen 309Raten und Prüfen 312Die Substitutionsmethode 313Flächen mithilfe der Substitutionsmethode bestimmen 318Kapitel 15 Integrationstechniken für Profis 321Teilweise (partielle) Integration: Teile und Herrsche! 321Das u auswählen 325Partielle Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal 327Alles im Kreis! 328Tricks mit Trig-Integralen 330Integrale mit Sinus und Kosinus 331Integrale mit Sekans und Tangens 334Integrale mit Kosekans und Kotangens 337Ihr schlimmster Albtraum: Trigonometrische Substitution 3371. Fall: Tangens 3382. Fall: Sinus 3413. Fall: Sekans 342A, B und C in Teilbrüchen (Partialbrüchen) 3431. Fall: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 3442. Fall: Der Nenner enthält quadratische Faktoren ohne Nullstellen 3453. Fall: Der Nenner enthält mehrere gleiche lineare oder quadratische Faktoren 347Bonusrunde: Koeffizientenvergleich 347Kapitel 16 Grau ist alle Theorie: Mit Integralen echte Probleme lösen 349Der Mittelwertsatz der Integralrechnung und der Durchschnittswert 350Die Fläche zwischen zwei Kurven – der doppelte Spaß 353Die Volumen unregelmäßiger Körper ermitteln 357Die Wurstscheibenmethode 357Die Pfannkuchenstapelmethode 359Die Stapel-Donuts-auf-den-sich-jemand-gesetzt-hat-Methode 360Die Methode mit den Matroschkas 362Bogenlängen analysieren 365Drehoberflächen – entstehen durch Drehen! 367Uneigentliche Integrale – am Verlauf zu erkennen 370Vertikale Asymptoten 371Uneigentliche Integrale mit einer oder zwei Integrationsgrenzen im Unendlichen 373Und jetzt zu Gabriels Horn 375Kapitel 17 Unendliche Reihen 379Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 380Folgen aneinanderreihen 380Reihen summieren 382Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 385Der einfachste Test auf Divergenz: Die Prüfung auf den n-ten Term 385Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz/Divergenz 387Drei Vergleichstests für Konvergenz/Divergenz 390Tests auf Quotienten und Wurzeln 396Alternierende Reihen 399Absolute oder bedingte Konvergenz bestimmen 399Der Test mit den alternierenden Reihen 400Nehmen Sie die Tests leicht 405Teil VI: Der Top-Ten-Teil 407Kapitel 18 Zehn Dinge, die Sie sich unbedingt merken sollten 409Die drei binomischen Formeln 4090/5 = 0, aber 5/0 ist undefiniert 4090/0 ist nicht definiert 4100 ⋅ ∞ ist nicht definiert 410Irgendetwas0 = 1 410Die GAGA-HühnerHof-AG 410Trigonometrische Werte für 30-, 45- und 60-Grad-Winkel 411sin2θ + cos2θ = 1 411Die Produktregel 411Die Quotientenregel 411Kapitel 19 Noch zehn Dinge, die Sie nicht vergessen sollten 413(a + b)2 = a2 + b2 – falsch! 413√a2 + b2 = a + b – falsch! 413Steigung einer Geraden = x2 − x1/y2 − y1 – falsch! 4133a + b/3a + c = b/c – falsch! 414ea+b= ea + eb und ln(a + b) = ln(a) + ln(b) – falsch! 414d/da x3 = 3x2 – falsch! 414Wenn k eine Konstante ist, dann ist d/dx kx = k′x + kx′ – na ja … 414Die Quotientenregel ist d/dx (u/v ) = v′u − vu′/v2 – falsch! 415∫ x2dx = 1/3 x3 – falsch! 415∫ (sin x)dx = cos x + C – falsch! 415Stichwortverzeichnis 419