Lineare Algebra kompakt für Dummies

Prof. Dr. E.-G. Haffner studierte an der Universität Kaiserslautern Informatik und Mathematik und promovierte an der Universität Trier. Heute ist er als Professor der Hochschule Trier für die Mathematikausbildung in den Studiengängen Elektrotechnik, Medizintechnik und Wirtschaftsingenieurwesen verantwortlich.

• Einführung 15 Zu diesem Buch 15Konventionen in diesem Buch 16Was Sie nicht lesen müssen 16Törichte Annahmen über den Leser 16Wie dieses Buch aufgebaut ist 16Teil I: Grundlagen der linearen Algebra 17Teil II: Landschaftserkundung zur linearen Algebra 17Teil III: Lineare Algebra for Runaway Dummies 18Teil IV: Top Ten Teil 18Symbole in diesem Buch 18Wie es weitergeht 19Teil I Grundlagen der Algebra 21Kapitel 1 Die bunte Welt der linearen Algebra 23Dafür braucht man lineare Algebra 24Systeme von Gleichungen lösen 25Geometrische Rätsel knacken 26Die Bausteine der linearen Algebra erkennen 28Körper und Vektorräume 28Sinnvolle Verknüpfungen von Vektoren 28Die Werte in Reih’ und Glied bringen 29Matrizen und ihre Verknüpfungen 32Determinanten 34Alles in einen linearen Zusammenhang bringen 35Lineare Abbildungen 35Kapitel 2 Körper und andere Welten 39Verkündigung der Körpergesetze 39Der Begriff des »Körpers« 39Das Assoziativgesetz 41Das Kommutativgesetz 45Das neutrale Element 48Inverse Elemente 49Das Distributivgesetz 51Die Algebraische Struktur der Körper 52Endlich unendliche Körper 54Der kleinste Körper 54Die klassischen Zahlkörper 56Na so was: die Restklassenkörper 57Kapitel 3 Wen Amors Vektor trifft 61Woher die Vektoren kommen 61Erweitern Sie Ihren Horizont – um n Dimensionen 62Grundlegende Vektoroperationen 64Addition und Subtraktion von Vektoren 65Skalare Multiplikation von Vektoren 67Das Skalarprodukt von Vektoren 68Die Norm eines Vektors 70Das Vektorprodukt 73Der Winkel zwischen Vektoren 74Diese Vektoren sind nicht normal 77Jetzt wird es eng: der n-Raum 78Der Euklidische n-Raum 79Der komplexe n-Raum 81Warum das alles kein Unsinn ist 82Die größten Irrtümer der Naturwissenschaften 82Arbeit und Kraft 83Das Drehmoment 84Tricks mit Vektoren 86Der Kosinussatz 86Teil II Landschaftserkundung zur linearen Algebra 89Kapitel 4 Vektorräume mit Aussicht 91Räume voller Vektoren 91Vektorraumoperationen 92Addition von Vektoren 93Skalare Multiplikation 93Vektorraumeigenschaften 95Massenhaft Beispiele für Vektorräume 96Vektorräume aus n-Tupeln 96Vektorräume aus Polynomen 97Vektorräume aus Matrizen 99Vektorräume von Folgen und Funktionen 100Vektorräume aus linearen Abbildungen 102Vektorräume aus Körpern 103Unterräume – aber nicht im Kellergeschoss 104Die formale Spezifikation der Unterräume 104Eine Abkürzung zu den Unterräumen 106Aufräumen in den Unterräumen 107Summen von Unterräumen 111Direkte Summen von Unterräumen 113Kapitel 5 LGS – Auf lineare Steine können Sie bauen 117Wie lineare Gleichungssysteme entstehen 117Darstellungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme 121Die Quadratische Form 122Die Stufenform 124Die Idealform 125Prinzipielle Lösungsmengen von LGSen 127Eindeutige Lösung 128Freie Parameter in der Lösung 128Keine Lösungen 131Das Gauß’sche Eliminationsverfahren zur Lösung von LGSen 131Carl Friedrich Gauß 132Der Gauß-Jordan-Algorithmus 136Lösung eines LGS über die erweiterte Koeffizientenmatrix 138So geht es auch: LR-Zerlegung nach Gauß 140Determinanten zur Bestimmung von Lösungen 143Lösung â la Cramer & Cramer 144Inverse Matrizen zur Lösung einer Matrizengleichung 145Parametrisierte LGS 146Kapitel 6 Die Matrix ist überall 155Wie eine Matrix das Leben erleichtert 155Lineare Gleichungssysteme als Matrizen darstellen 156Grundlegende Matrixoperationen 158Addition von Matrizen 158Skalare Multiplikation von Matrizen 159Matrix-Vektorprodukt 161Matrixmultiplikation 162Transposition von Matrizen 165Der Rang einer Matrix 166Attribute von Matrizen 168Quadratische Matrizen 168Reguläre Matrizen 170Idempotente Matrizen 171Diagonalmatrizen 172Adjungierte von Matrizen bestimmen 173Komplementäre Matrizen erzeugen 174Matrizen invertieren 176Mittels Determinanten und Adjunkten 177Mittels Gauß-Jordan-Algorithmus 177Der Matrix auf der Spur 179Teil III Lineare Algebra for Runaway Dummies 181Kapitel 7 Die lineare Unabhängigkeitserklärung 183Wir kombinieren linear 183Warum unabhängig besser ist als abhängig 185Bestimmung der linearen Unabhängigkeit 186Bei n-Tupel-Vektoren 187Bei Polynomen 190Bei Matrizen 191Im Allgemeinen 194Fallstricke der linearen Unabhängigkeit 198Kapitel 8 Basen, keine lästige Verwandtschaft 201Auf dieser Basis beruht unsere Arbeit 201Erzeugende Systeme 206Lineare Hüllen als Unterräume 207Lineare Unabhängigkeit von Basisvektoren 209Erzeugte Unterräume 210Matrizen und Basen: So geht das! 214Dimensionen und Basisvektoren 215Jetzt haben Sie endlich die Koordinaten 216Basen für Orthonormal-Verbraucher 217Kapitel 9 Ganz bestimmte Determinanten 219Warum Determinanten wichtig sind 219Was Permutationen mit Determinanten zu tun haben 221Berechnung von Determinanten 222Determinanten von 2×2-Matrizen 222Determinanten mit der Regel von Sarrus berechnen 224Berechnung von Determinanten im Allgemeinen 227Rechenregeln für Determinanten 228Wie sich die Transpositionen auf Determinanten auswirken 229Diagonalmatrizen sind die besten Freunde von Determinanten 229Die Determinate der Einheitsmatrix 230Skalare Multiplikation und Determinanten 230Determinanten und der Zeilentausch/Spaltentausch 231Leibniz trifft auf Gauß 232Determinantenberechnung für Dreiecksmatrizen 233Zusammenhang zwischen Determinante und Invertierbarkeit einer Matrix 233Unterdeterminanten 234Rekursion 234Der Entwicklungssatz 236Teil IV Top Ten Teil 239Kapitel 10 Lineare Algebra in zehn Minuten 241Linearität verstehen und keine Angst vor Algebra haben 241Den Körper als Freund betrachten 241Mit diesen Vektoren können Sie rechnen 241Räume voller Vektoren 242Gleichungssysteme mit geometrischen Objekten identifizieren 242LGSe mit unterschiedlichen Methoden lösen 242Keiner entkommt der Matrix 242Noch unabhängiger als die Schweiz 243Neues Verständnis von Koordinaten 243Determinanten sind das Herz einer Matrix 243Stichwortverzeichnis 245