Wiley-Schnellkurs Lineare Algebra

Dr. Thoralf Räsch ist Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet Mathematik in den naturwissenschaftlichen Bachelorstudiengängen. Er ist Autor von "Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies", "Mathematik der Physik für Dummies" und "Vorkurs Mathematik für Ingenieure für Dummies".

• Einstiegstest 1Über den Autor 9Danksagung 9Inhaltsverzeichnis 11Einleitung 17Was Sie schon immer über lineare Algebra wissen wollten 17Meine Leser 17Ziel des Buches 18Nötiges Vorwissen 19Jenseits dieses Buches 19Was bedeutet was 19Nur Mut zum Stolpern 201 Algebraische Grundlagen der Zahlensysteme 23Mathematik und die natürlichen Zahlen 23Eigenschaften der Grundrechenarten 26Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 27Mathematiker und ihre Konstruktion der ganzen Zahlen 29Aufgaben mit Klammern richtig lösen 30Aus ganz wird rational – Bruchrechnung mal anders 30Mathematiker und ihre Definition der rationalen Zahlen 32Rationale Zahlen und Dezimalbrüche 33Und plötzlich wird's irrational … und doch real! 35Mathematiker und die Konstruktion der reellen Zahlen 36Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 37Das Summenzeichen 38Notwendige und hinreichende Bedingungen 39Grundlegende Begriffe über allgemeine Funktionen 402 Logische Grundlagen der Sprache, Mengen und Beweistechniken 45Alles über Mengen 45Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen 47Von Zahlen, Mengen und Intervallen 49Mit Mengen einfach rechnen können 49Mengengleichheit 50Durchschnitt und Vereinigung von Mengen 50Mengendifferenz und Komplementbildung 51Kreuzprodukt von Mengen 52Venn-Diagramme 53Logische Verküpfungen kompetent anwenden können 55Wahre und falsche Aussagen 56Aussagen verknüpfen 56Die Mathematik als Sprache erkennen 58Terme als Worte im mathematischen Satz 59Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 59Mit Quantoren neue Formeln bilden 61Die Unendlichkeit – unzählige Welten? 63Jenseits der Zählbarkeit – überabzählbare Mengen 65Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 66Methode 1: Direkter Beweis 67Methode 2: Indirekter Beweis 67Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 69Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 703 Lineare Gleichungssysteme Schritt für Schritt analysieren 75Gleichungen in verschiedenen Formen und Größen 75Lineare Gleichungen in einer Unbekannten 76Quadratische Gleichungen in einer Unbekannten 77Lineare Gleichungssysteme unter die Lupe genommen 78Gleichungssyteme in Diagonalgestalt 80Die nützliche Zeilenstufenform 81Der legendäre Gauß-Algorithmus 834 Vektorräume – mehr als eine Welt der Pfeile 89Der Raum Kn 89Praxisbeispiel: Kräfte an einem Ausleger berechnen 95Schöne Teilmengen: Untervektorräume 975 Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 105Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 105Punkte im Raum 105Parametergleichung für Geraden 107Zweipunktegleichung für Geraden 108Parametergleichung für Ebenen 110Dreipunktegleichung für Ebenen 111Koordinatengleichung für Ebenen 112Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 112Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 115Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden 115Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen 118Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene 121Kollision während einer Flugshow in Las Vegas? 1246 Rechnen in Gruppen, Ringen und Körpern 129Grundlegende Strukturen: Gruppen 132In Ringen mit zwei Operationen rechnen 134Teilbarkeit und das Rechnen mit Restklassen 138Rechnen mit Restklassen im Alltag 1437 Keine Angst vor komplexen Zahlen 147Definition der komplexen Zahlen 147Komplexe Zahlen addieren und multiplizieren 149Division komplexer Zahlen in der Praxis 149Komplexe quadratische Gleichungen 151Komplexe Zahlen als reelle Ebene 152Komplexe Zahlen als Polarkoordinaten 154Kurzer Ausblick auf die Anwendungen dieser Zahlen 158Jenseits der komplexen Zahlen: Quaternionen und Oktonionen 1588 Überlebenstechniken in Vektorräumen 161Linearkombination und lineare Hüllen 161Lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensysteme 165Vektorräume und ihre Basen 168Drei Existenzsätze für Basen 170Dimension eines Vektorraums 1749 Lineare Abbildungen tiefgründig verstehen lernen 181Grundlagen linearer Abbildungen 181Kerne und Bilder von linearen Abbildungen 186Homomorphismen über Homomorphismen 190Endliche Beschreibung von Homomorphismen 193Klassifikation endlich-dimensionaler Vektorräume 195Der Dimensionssatz 197Eigenschaften injektiver linearer Abbildungen 20010 Die Welt der Matrizen 203Darstellende Matrizen von linearen Abbildungen 203Matrizenaddition und -skalarmultiplikation 207Matrizenmultiplikation leicht gemacht 210Inverse Matrizen verstehen 215Matrizen als lineare Abbildungen auffassen 21811 Praktische Anwendungen von Matrizen 221Matrizen als Drehungen in der reellen Ebene 221Matrizen als Spiegelungen in der reellen Ebene 225Überführungsmatrizen in Produktionsprozessen 228Elementare Zeilenumformungen als Matrizen 230Matrizen als elementare Umformung: Vertauschen von zwei Zeilen 230Matrizen als Elementare Umformung: Skalarmultiplikation einer Zeile 232Matrizen als Elementare Umformung: Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen 23312 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und lineare Abbildungen 237Koeffizientenmatrizen und ihre Eigenschaften 237Geometrie der Lösungsmengen 239Unterräume als Lösungsmengen 241Praktisches Invertieren von Matrizen mit dem Gaußschen Algorithmus 243Ausblick jenseits dieses Buches 24713 Lösungen zu den Aufgaben 249Glossar 261Index 265