Höhere Mathematik für Dummies

Dr. Thoralf Räsch ist Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet Mathematik in den naturwissenschaftlichen Bachelorstudiengängen. Darüber hinaus überzeugt er in verschiedenen Projekten in Berlin und Bonn interessierte Schüler von der Faszination der Mathematik. Thoralf Räsch studierte an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte am Institut für Mathematik an der Universität Potsdam. Er ist Autor von "Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies".

• Über den Autor 23Danksagung 23Einleitung 25Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand von Beispielen 25Überall praktische Beispiele 26Törichte Annahmen über den Leser 26Konventionen in diesem Buch 27Wie dieses Buch strukturiert ist 27Teil I: Eindimensionale Analysis 27Teil II: Lineare Algebra 28Teil III: Komplexe Analysis und Differentialgleichungen 28Teil IV: Mehrdimensionale Analysis 28Teil V: Der Top-Ten-Teil 29Die Symbole in diesem Buch 29Den modularen Aufbau für sich nutzen 29Teil I Eindimensionale Analysis 31Kapitel 1 Grundlagen der Analysis 33Was Funktionen eigentlich sind 33Graphische Darstellung von Funktionen 35Polynome einfach verstehen 36Bruchrechnung: Rationale Funktionen 39Rasch Wachsende Exponentialfunktionen 40Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 41Von Umkehr- und Inversen Funktionen 43Trigonometrische Funktionen 44Trigonometrische Funktionen zeichnen 45Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 46Grenzwerte einer Funktion Verstehen 46Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 47Links- und rechtsseitige Grenzwerte 48Die formale Definition eines Grenzwertes – wie erwartet! 48Unendliche Grenzwerte und Vertikale Asymptoten 49Grenzwerte für x gegen unendlich 50Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 50Einfache Grenzwerte auswerten 53Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 53Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 54Methode 1: Faktorisieren 54Methode 2: Konjugierte Multiplikation 54Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 55Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 56Grenzwerte bei unendlich auswerten 57Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 58Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 59Kapitel 2 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 61Erste Schritte des Ableitens 62Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 62Grundlegende Regeln der Differentiation 64Die Konstantenregel 64Die Potenzregel 64Die Koeffizientenregel 65Die Summenregel – und die kennen Sie schon 65Trigonometrische Funktionen differenzieren 65Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 66Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 67Die Produktregel 67Die Quotientenregel 67Die Kettenregel 68Implizite Differentiation 71Logarithmische Differentiation 72Differentiation von Umkehrfunktionen 73Keine Angst vor höheren Ableitungen 75Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 76Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 76Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 77Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 77Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 78Achtung – Nicht auf der Spitze stecken bleiben 78Halten Sie sich fest – nun geht’s bergab! 78Jetzt wird’s kritisch an den Punkten! 78Lokale Extremwerte finden 79Die kritischen Werte suchen 80Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend? 81Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten! 82Globale Extremwerte finden 83Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 85Die Graphen von Ableitungen – jetzt wird gezeichnet! 87Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren 90Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 92Das nützliche Taylorpolynom 93Die Regel von l’Hospital 96Nicht akzeptable Formen in Form bringen 98Kombinieren der Methoden – nur Geduld! 98Kapitel 3 Von Folgen und Reihen 101Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 101Folgen aneinanderreihen 102Konvergenz und Divergenz von Folgen 103Grenzwerte mit Hilfe der Regel von l’Hospital bestimmen 104Reihen summieren 105Partialsummen 105Konvergenz oder Divergenz einer Reihe 105Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 107Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 107Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 108Geometrische Reihen 108Harmonische Reihe 109Teleskop-Reihen 110Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 111Der direkte Vergleich – Minoranten-/Majorantenkriterium 111Das Grenzwertkriterium 112Quotienten- und Wurzelkriterium 114Das Quotientenkriterium 114Das Wurzel-Kriterium 115Alternierende Reihen 116Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage! 116Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 117Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 120Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 122Potenzreihen (er)kennen 122Konvergenzbereich von Potenzreihen 123Rechnen Sie mit Potenzreihen 124Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 125Kapitel 4 Eindimensionale Integration 127Das bestimmte Integral – Flächen berechnen 127Stammfunktionen suchen – rückwärts ableiten 129Flächenfunktionen beschreiben 130Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 131Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 132Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken 135Umkehrregeln für Stammfunktionen 135Umkehrregeln zum Aufwärmen 135Die umgekehrte Potenzregel 135Genial einfach: Raten und Prüfen 136Die Substitutionsmethode 137Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 140Partielle Integration: Teile und Herrsche! 141Wählen Sie weise! 143Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 144Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 145Integrale mit Sinus und Kosinus 146Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 146Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 147Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 147Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 148Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 149Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 150Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz 151Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich 152Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 153Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale! 153Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 154Bogenlängen bestimmen 156Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 158Teil II Lineare Algebra 161Kapitel 5 Die Grundlagen: Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 163Vektoren erleben 163Vektoren veranschaulichen 164Mit Vektoren anschaulich rechnen 166Mit Vektoren rechnen 167Betrag eines Vektors berechnen 170Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 171Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräume bestimmen 174Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 176Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 179Arten von linearen Gleichungssystemen 180Homogene Gleichungssysteme 181Inhomogene Gleichungssysteme 181Überbestimmte Gleichungssysteme 182Unterbestimmte Gleichungssysteme 182Quadratische Gleichungssysteme 183Nicht lösbare Gleichungssysteme 184Graphische Lösungsansätze für LGS 184Kapitel 6 Überleben in der Welt der Matrizen .185Was Matrizen wirklich sind 185Addition von Matrizen 186Skalarmultiplikation von Matrizen 187Multiplikation von Matrizen 187Matrizen in Produktionsprozessen 188Transponierte und symmetrische Matrizen 190Keine Angst vor inversen Matrizen 191Matrizen und lineare Gleichungssysteme 192Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 192Der Rang von Matrizen 197Matrizen invertieren in der Praxis 198Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 199Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 200Matrizen und lineare Abbildungen 200Lineare Abbildungen an Beispielen 201Matrizen als lineare Abbildungen 202Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie 202Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis 203Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 205Matrizen und ihre Determinanten 207Determinanten von 2 × 2 - Matrizen 207Determinanten von 3 × 3 - Matrizen 207Determinanten von allgemeinen Matrizen 208Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 210Die Cramersche Regel 211Die Inversen mittels Adjunktenformel berechnen 213Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 215Kreuzprodukt von Vektoren 216Kapitel 7 Das Matrizen-Finale: Hauptachsentransformationen und euklidische Vektorräume 219Basistransformation 220Auf den Maßstab kommt es an! 220Geben Sie mir Ihre Koordinaten! 221Matrixdarstellung bei unterschiedlichen Basen 223Basistransformationsmatrizen 225Überzeugende Diagramme 226Eigenwerte und Eigenvektoren 228Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren? 228Eigenwerte einer Matrix berechnen 228Eigenvektoren einer Matrix berechnen 230Eigenräume finden und analysieren 231Matrizen diagonalisieren 232Drehungen und Spiegelungen 236Drehungen in der Ebene 237Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 239Spiegelungen in der Ebene 239Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 241Drehungen im dreidimensionalen Raum 244Mit Skalarprodukten messen können 247Starten mit dem Standard-Skalarprodukt 248Die allgemeinen Skalarprodukte 250Die Norm als Längenbegriff verstehen 251Wichtige Eigenschaften der Norm 251Alles Senkrecht? – Orthogonalität erwünscht 252Den Öffnungswinkel zwischen Vektoren (er)kennen 252Allgemeine euklidische Vektorräume untersuchen 253Orthogonale Vektoren allgemein beschreiben 254Orthogonalsysteme und orthogonale Basen 254Orthonormale Systeme und orthonormale Basen 255Teil III Komplexe Analysis, Fourieranalysis Und Differentialgleichungen 259Kapitel 8 Nicht reell aber real – die komplexen Zahlen 261Was komplexe Zahlen wirklich sind 261Komplexe Rechenoperationen 263Die komplexe Addition 263Die komplexe Multiplikation 263Die Konjugierte einer komplexen Zahl 264Die komplexe Division 265Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 265Komplexe quadratische Gleichungen 266Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 267Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 268Komplexe Potenzen und Wurzeln 271Anwendungen komplexer Zahlen 273Kapitel 9 Funktionentheorie: Komplexe Funktionen 277Tusch bitte: Holomorphe Funktionen 277Komplexe versus reelle Differenzierbarkeit 281Elementare komplexe Funktionen 282Komplexe Exponentialfunktion 282Komplexe Logarithmusfunktion 283Komplexe trigonometrische Funktionen 284Nicht über isolierte Singularitäten stolpern 284Noch mehr Reihen: die Laurentreihen 286(Fast) Keine Angst vor den Residuen 287Komplexe Kurvenintegrale berechnen 288Integrale mittels Parametrisierungen lösen 289Integrale mittels Stammfunktionen lösen 290Integrale mittels Residuensatz lösen 290Integrale mittels Cauchyscher Integralformeln lösen 291Praktische Anwendung der komplexen auf reelle Integrale 292Kapitel 10 Fourierreihen und -integrale 295Periodische Funktionen erkennen und erschaffen 295Der periodische Fall: Fourierreihen 297Die komplexe Form der Fourierreihe 301Der nicht-periodische Fall: Fouriertransformation 302Praktische Berechnung der Fouriertransformierten 304Anwendung der Fourieranalyse – kurzgefasst 306Kapitel 11 Gewöhnliche Differentialgleichungen 309Einführende Gedanken zu Differentialgleichungen 309Mit Isoklinen zur Lösung 311Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit 314Einfache Spezialfälle von Differentialgleichungen 315Der einfachste Fall: y’ = f(x) 315Der Fall: y’= f(x) ⋅ g(y) – Trennung der Variablen 315Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 317Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 317Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 318Praktische Lösungsmethode: Variation der Konstanten 320Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 321Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 322Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 324Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 326Äquivalenz einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einem System erster Ordnung 327Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung lösen 328Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 328Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 329Spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 331Anwendungen in der Schwingungslehre 332Teil IV Mehrdimensionale Analysis 335Kapitel 12 Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler 337Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen 338Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg 341Schnitte von Graphen 341Höhen- und Niveaulinien von Graphen 343Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 344Partielle Ableitungen – auch hier ein Kinderspiel 346Unabhängiges Pärchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit 348Tangentialebenen als Tangenten-Alternative 349Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit 349Gewünschte Zugabe: Totales Differential 350Rechenregeln des Ableitens für Funktionen mehrerer Variabler 351Implizite Funktionen differenzieren können 353Höhere Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz 354Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variabler 356Kritische Punkte von Funktionen in höheren Dimensionen 356Hinreichende Kriterien für Extrema und Sattelpunkte 357Hinreichende Kriterien für Funktionen in zwei Variablen 359Extremwerte unter Nebenbedingungen 361Nebenbedingung mithilfe des Lagrangeschen Ansatzes lösen 361Nebenbedingung mithilfe des Einsetzverfahrens lösen 364Kopf an Kopf Rennen – beide Verfahren im direkten Vergleich 365Kapitel 13 Mehrdimensionale Integration 371Flächenintegrale – ein Einstieg 371Das Prinzip des Cavalieri – Volumen der Drehkörper 377Volumenintegrale – der Aufstieg 379Das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel 381Volumen eines dreidimensionalen Rotationskörpers 382Das Volumen des Torus auf zwei Arten berechnen 383Parametrisierung des Torus 384Volumen des Torus als Rotationskörper 385Volumen des Torus mithilfe der zweiten Guldinschen Regel 387Integrierbare Funktionen mehrerer Variabler – der Gipfel 387Mit feinster (Quader-)Rasterung zum Ziel kommen 388Endlich Gebiete erkennen 389Offene und (weg-)zusammenhängende Mengen 390Integrale überzeugend definieren und verstehen 391Substitution durch Transformation 393Kapitel 14 Vektoranalysis in drei Dimensionen 397Skalar- und Vektorfelder 397Keine Angst vor Differentialoperatoren 399Gradient eines Skalarfeldes 400Divergenz eines Vektorfeldes 400Rotation eines Vektorfeldes 402Rechenregeln für Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace und Nabla 403Das übersichtliche Nabla-Kalkül 404Langsam durch Kurven und ihre Integrale 405Kurven in der Ebene und im Raum 406Kurven und ihre (Bogen-)Länge 408Massen, Schwerpunkte und Oberflächen rotierender Kurven 410Die Oberfläche des Torus auf zwei Arten berechnen 412Skalare Kurvenintegrale – der Länge nach integrieren 413Vektorielle Kurvenintegrale – gut für die Zirkulation 414Wegunabhängigkeit von Gradientenfeldern 415Integrale über geschlossenen Kurven 415Integrabilitätsbedingung für Gradientenfelder 416Oberflächlich durch den Raum 419Flächen im dreidimensionalen Raum 419Massen und Schwerpunkte von Flächen im Raum 421Flächen orientieren – Außenseiten bestimmen 421Skalare Oberflächenintegrale – Oberflächen berechnen 423Vektorielle Oberflächenintegrale – im Fluss stehen 423Den Fluss am Kreiskegel schrittweise berechnen 425Formeln von Gauß, Stokes, Green und Maxwell 428Gaußscher Integralsatz – der erste Höhepunkt 428Stokesscher Integralsatz – der zweite Höhepunkt 429Greensche Formeln – in Kürze und Würze 432Maxwellgleichungen – kurz und knapp! 433Teil V Der Top-Ten-Teil 435Kapitel 15 Mehr als zehn wichtige Formeln 437Wichtiger Grenzwert 437Wichtiger Mittelwertsatz 437Wichtiger Taylorreihenansatz 438Wichtiger Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 438Wichtiger Betrag eines Vektors 438Wichtiger Dimensionssatz für lineare Abbildungen 438Wichtiges Orthonormalisierungsverfahren 439Wichtige komplexe Wurzeln 439Wichtiger Residuensatz 439Wichtige Fouriertransformation 439Wichtige Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 440Wichtige Hessematrix 440Wichtige Integrale über Gebieten 440Wichtige Sätze von Gauß und Stokes 440Bonusrunde: Wichtige Gleichung 441Kapitel 16 Zehn interessante Ansätze der Physik 443Lorentz und die relativen Geschwindigkeiten 443Dopplers Effekte 445Keplers Planetengesetze 445Galileis Fallgesetz 446Newtons Trägheitsgesetz 446Maxwell und seine Gleichungen 446Plancks Wirkung 447Schrödingers Gleichung 447Heisenbergsche Unschärfe 448Einsteins E = mc2 und seine spezielle Theorie zur Relativität 448Bonusrunde: Einsteins allgemeine Relativitätstheorie 449Stichwortverzeichnis 451