Vorkurs Mathematik für Ingenieure für Dummies

Dr. Thoralf Räsch ist Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet Mathematik in den naturwissenschaftlichen Bachelorstudiengängen. Darüber hinaus versucht er in verschiedenen Projekten in Berlin und Bonn, interessierte Schüler von der Faszination der Mathematik zu überzeugen. Thoralf Räsch studierte an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte am Institut für Mathematik an der Universität Potsdam. Er ist Autor von "Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies" und "Mathematik der Physik für Dummies".

• Über den Autor 9Danksagung 9Einleitung 23Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand vieler Beispiele 23Überall praktische Beispiele 23Törichte Annahmen über den Leser 24Konventionen in diesem Buch 24Wie dieses Buch strukturiert ist 25Teil I: Zahlen und Rechenoperationen 25Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 25Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen 26Teil IV: Keine Angst vor Geometrie 26Teil V: Differentiation und Integralrechnung für eine Variable 26Teil VI: Differentiation und Differentialgleichungen für zwei Variablen 26Teil VII: Der Top-Ten-Teil 27Die Symbole in diesem Buch 27Den modularen Aufbau für sich nutzen 28Teil I Zahlen Und Rechenoperationen 29Kapitel 1 Zahlen und Grundrechenarten 31Mathematik und ihre natürlichen Zahlen 31Eigenschaften der Grundrechenarten 33Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 34Aufgaben mit Klammern richtig lösen 37Aus ganz wird rational – Bruchrechnung mal anders 38Rationale Zahlen und ihre Dezimalbrüche 41Und plötzlich wird’s irrational … und real! 43Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 45Das Summenzeichen 46Kapitel 2 Rechnen mit Polynomen, Potenzen und Logarithmen 47Alles über Mengen 47Mengen im Supermarkt? 47Alles, nichts, oder? – Spezielle Mengen 49Von Zahlen, Mengen und Intervallen 50Mit Mengen einfach rechnen können 51Das Leben mit Teilmengen 51Mengengleichheit 51Durchschnitt und Vereinigung von Mengen 52Mengendifferenz und Komplementbildung 52Potenzmenge einer Menge 53Kreuzprodukt von Mengen 54Venn-Diagramme 55Prozentrechnung für den Alltag 57Nur zwei Prozent Mieterhöhung 57Das eigene Heim trotz Provision? 57Die Bären kommen – Sinkende Aktienkurse 58Bullen im Vormarsch – Steigende Kurse 58Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt? 58Immer auf die genaue Formulierung achten 59Preissenkungsschnäppchen mitnehmen 59Zinsrechnung zum Verstehen 59Lohnender Zinsertrag 60Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume 60Suche nach dem Startkapital 60Taggenaue Zinsen 61Kapitalwachstum: Zinseszins 61Eine feste Anlage für zehn Jahre 61Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 62Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 62Keine Angst vor Wurzeln und Potenzen 63Kapitel 3 Logische Grundlagen und Beweismethoden 65Logische Grundlagen 65Wahre und falsche Aussagen 65Aussagen verknüpfen 66Die Mathematik als Sprache erkennen 68Terme als die Worte im mathematischen Satz 68Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 68Mit Quantoren neue Formeln bilden 69Notwendige und hinreichende Bedingungen 71Die Unendlichkeit – unzählige Welten? 73Mit abzählbaren Mengen zählen lernen 73Jenseits der Zählbarkeit – überabzählbare Mengen 76Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 77Methode 1: Direkter Beweis 77Methode 2: Indirekter Beweis 78Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 79Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 80Kapitel 4 Grundlagen von Gleichungen und Ungleichungen 85Gleichungen in Angriff nehmen 85Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten 85Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten 87Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten 88Ungleichungen in den Griff bekommen 90Lineare Ungleichungen im Griff haben 90Quadratische Ungleichungen zähmen 90Echte Ungleichungen akzeptieren 91Beträge ins Spiel bringen 91Teil II Keine Angst Vor Gleichungen, Vektoren Und Matrizen 95Kapitel 5 Nicht reell aber real – die komplexen Zahlen 97Was komplexe Zahlen wirklich sind 97Komplexe Rechenoperationen 99Die komplexe Addition 99Die komplexe Multiplikation 99Die Konjugierte einer komplexen Zahl 100Die komplexe Division 100Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 101Komplexe quadratische Gleichungen 102Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 103Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 104Der Betrag einer komplexen Zahl 104Einmal Polarkoordinaten und zurück 105Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten 106Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten 106Komplexe Potenzen und Wurzeln 107Anwendungen komplexer Zahlen 109Kapitel 6 Die Grundlagen: Allgemeine Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 113Vektoren erleben 113Vektoren veranschaulichen 115Mit Vektoren anschaulich rechnen 116Mit Vektoren rechnen 117Betrag eines Vektors berechnen 120Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 121Schöne VektorraumTeilmengen: Untervektorräume bestimmen 124Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 126Arten von Linearen Gleichungssystemen 129Homogene Gleichungssysteme 130Inhomogene Gleichungssysteme 130Überbestimmte Gleichungssysteme 131Unterbestimmte Gleichungssysteme 132Quadratische Gleichungssysteme 132Nicht lösbare Gleichungssysteme 133Graphische Lösungsansätze für LGS 134Kapitel 7 Vektoren im dreidimensionalen Raum: Punkte, Geraden und Ebenen 135Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 135Punkte im Raum 136Parametergleichung für Geraden 136Zweipunktegleichung für Geraden 138Parametergleichung für Ebenen 139Dreipunktegteichung für Ebenen 140Koordinatengteichung für Ebenen 141Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 141Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 143Kollision Während einer Flugshow in Las Vegas? 150Kapitel 8 Überleben in der Welt der Matrizen 155Was Matrizen eigentlich sind 156Addition von Matrizen 157Skalarmultiplikation von Matrizen 157Multiplikation von Matrizen 157Matrizen in Produktionsprozessen 158Transponierte und symmetrische Matrizen 160Keine Angst vor inversen Matrizen 160Matrizen und lineare Gleichungssysteme 161Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 162Der Rang von Matrizen 167Matrizen invertieren in der Praxis 168Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 169Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 170Matrizen und lineare Abbildungen 171Lineare Abbildungen an Beispielen 171Matrizen als lineare Abbildungen 172Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Theorie 172Bilder und Kerne, Ränge und Defekte – in der Praxis 173Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 176Matrizen und ihre Determinanten 177Determinanten von (2 × 2) -Matrizen 177Determinanten von (3 × 3) -Matrizen 177Determinanten von allgemeinen Matrizen 178Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 181Die Cramersche Regel 181Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen 184Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 185Kreuzprodukt von Vektoren 186Praktische Anwendung: Spiegelungen und Drehungen in der Ebene 188Drehungen in der Ebene 188Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 190Spiegelungen in der Ebene 190Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 192Teil III Funktionen, Folgen Und Reihen 195Kapitel 9 Was Funktionen sind! 197Was Funktionen eigentlich sind 197Graphische Darstellung von Funktionen 199Polynome einfach verstehen 200Bruchrechnung: Rationale Funktionen 204Keine Angst vor der Potgnomdivision 205Rasch Wachsende Exponentialfunktionen 206Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 208Von Umkehr- und inversen Funktionen 209Trigonometrische Funktionen 210Trigonometrische Funktionen zeichnen 211Identifikation (von und) mit trigonometrischen Identitäten 212Trigonometrische Kehrwert- und Umkehrfunktionen 212Kapitel 10 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 217Grenzwerte einer Funktion verstehen 217Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 218Links- und rechtsseitige Grenzwerte 218Die formale Definition eines Grenzwertes – wie erwartet! 219Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 220Grenzwerte für x gegen unendlich 220Stetigkeit von Funktionen 221Einfache Grenzwerte auswerten 224Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 224Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 225Methode 1: Faktorisieren 225Methode 2: Konjugierte Multiplikation 226Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 226Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 227Grenzwerte bei unendlich auswerten 229Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 230Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 230Kapitel 11 Von Folgen und Reihen 233Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 233Folgen aneinanderreihen 234Konvergenz und Divergenz von Folgen 235Grenzwerte mithilfe der Regel von l’Hospital bestimmen 236Reihen summieren 237Partialsummen 237Konvergenz oder Divergenz einer Reihe 238Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 240Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 240Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 240Geometrische Reihen 241Harmonische Reihe 241Teleskop-Reihen 242Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 243Der direkte Vergleich – Minoranten-/ Majorantenkriterium 243Das Grenzwertkriterium 244Quotienten- und Wurzelkriterium 246Das Quotientenkriterium 246Das Wurzel-Kriterium 247Alternierende Reihen 248Absolute oder normale Konvergenz – das ist die Frage! 249Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 250Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 253Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 255Potenzreihen (er)kennen 255Konvergenzbereich von Potenzreihen 257Rechnen Sie mit Potenzreihen 258Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 259Teil IV Keine Angst Vor Geometrie 261Kapitel 12 Von Winkeln, Geraden und Dreiecken: Grundlagen der Geometrie 263Geraden, Strahlen und Winkel 263Winkel an geschnittenen Geraden 266Strecken in der Ebene 267Mit den Strahlensätzen rechnen 267Goldener Schnitt 269Das allgemeine Dreieck 271Das gleichschenklige Dreieck 273Das gleichseitige Dreieck 273Das rechtwinklige Dreieck 274Interessante Schnittpunkte in Dreiecken 275Dreiecke und ihre Seitenhalbierenden samt Schwerpunkte 275Dreiecke und ihre Mittelsenkrechten samt Umkreisen 276Dreiecke und ihre Winkelhalbierenden samt Inkreisen 276Dreiecke und ihre Höhenschnittpunkte 277Kongruenz von Dreiecken 278Ähnlichkeit von Dreiecken 279Kapitel 13 Elementare Figuren der Geometrie in Ebene und Raum 283Die zweidimensionale Welt: Von Vierecken über n-Ecke zu Kreisen 283Vierecke (er)kennen lernen 283Allgemeine und regelmäßige n-Ecke 289Keine Angst vor Kreisen 291Geometrische Körper – die dreidimensionale Welt 295Die Welt der Prismen 296Es mit Pyramiden auf die Spitze treiben 298Zylinder aus Prismen entwickeln 301Aus Pyramiden werden Kegel 302Die Kugel – schlicht und makellos 303Ein komplexeres Beispiel aus der Praxis: Optimale Blechbehälter gesucht! 305Platonische Körper genießen 307Teil V Differential- Und Integralrechnung Für Eine Variable 309Kapitel 14 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 311Erste Schritte des Ableitens 311Steigungen gesucht! 311Steigung von Geraden 313Steigungen von Parabeln 314Der Differenzenquotient 315Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 319Grundlegende Regeln der Differentiation 321Die Konstantenregel 321Die Potenzregel 321Die Summenregel – und die kennen Sie schon 322Trigonometrische Funktionen differenzieren 322Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 322Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 324Die Produktregel 324Die Quotientenregel 324Die Kettenregel 325Implizite Differentiation 328Logarithmische Differentiation 329Differentiation von Umkehrfunktionen 330Keine Angst vor höheren Ableitungen 331Kapitel 15 Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 333Kurvendiskussion einmal praktisch veranschaulicht 333Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 334Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 335Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 335Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 335Achtung – Nicht auf der Spitze stecken bleiben 336Halten Sie sich fest – nun geht’s bergab! 336Jetzt wird’s kritisch an den Punkten! 336Lokale Extremwerte finden 337Die kritischen Werte suchen 337Der Test mit der ersten Ableitung – wachsend oder fallend? 339Der Test mit der zweiten Ableitung – Krümmungsverhalten! 340Globale Extremwerte über einem abgeschlossenem Intervall finden 341Globale Extrempunkte über den gesamten Definitionsbereich finden 343Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 345Die Graphen von Ableitungen – jetzt wird gezeichnet! 347Der Zwischenwertsatz – Es geht nichts verloren 350Der Mittelwertsatz – Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 351Das nützliche Taylorpolynom 353Die Regel von l’Hospital 356Nicht akzeptable Formen in Form bringen 357Kombinieren der Methoden – nur Geduld! 358Kapitel 16 Eindimensionale Integration 361Flächenberechnung – eine Einführung 361Flächen mithilfe von Rechtecksummen annähern 362Exakte Flächen mithilfe des bestimmten Integrals ermitteln 366Stammfunktionen suchen – rückwärts Ableiten 368Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 370Flächenfunktion beschreiben 370Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 373Die erste Version des Hauptsatzes 373Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 375Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen 377Kapitel 17 Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 381Stammfunktionen finden – Drei grundlegende Techniken 381Umkehrregeln für Stamm funktionen 381Genial einfach: Raten und Prüfen 382Die Substitutionsmethode 384Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 386Partielle Integration: Teile und Herrsche! 387Wählen Sie weise! 389Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 390Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 391Kapitel 18 Spezielle Integrale praktisch lösen – Tipps und Tricks 393Integrale mit Sinus und Kosinus 393Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 393Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 394Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 395Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 395Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 396Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 397Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz 399Bonusrunde – Der Koeffizientenvergleich 399Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 400Grau ist alle Theorie – Praktische Integrale! 401Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 402Bogenlängen bestimmen 404Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 406Teil VI Differential- Und Integralrechnung Für Zwei Variablen 409Kapitel 19 Kurvendiskussion von Funktionen zweier Variablen 411Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen 412Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg 414Schnitte von Graphen 414Höhen- und Niveaulinien von Graphen 415Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 416Partielle Ableitungen – auch hier ein Kinderspiel 419Unabhängiges Pärchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit 421Tangentialebenen als Tangenten-Alternative 421Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit 422Gewünschte Zugabe: Totales Differential 423Rechenregeln des Ableitens für Funktionen mehrerer Variablen 424Implizite Funktionen differenzieren können 425Höhere Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz 426Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variabler 429Kritische Punkte von Funktionen in höheren Dimensionen 429Hinreichende Kriterien für Extrema und Sattelpunkte 430Hinreichende Kriterien für Funktionen in zwei Variablen 432Extremwerte unter Nebenbedingungen 434Nebenbedingung mithilfe des Lagrangeschen Ansatzes lösen 434Nebenbedingung mithilfe des Einsetzverfahrens lösen 437Kopf an Kopf Rennen – beide Verfahren im direkten Vergleich 438Kapitel 20 Grundlagen der Differentialgleichungen 445Einführende Gedanken zu Differentialgleichungen 445Mit Isoktinen zur Lösung 447Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit 448Einfache Spezialfälle von Differentialgleichungen 450Der einfachste Fall: y′=f (x) 450Der Fall: y′=f (x) ⋅ g(y) – Trennung der Variablen 450Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 451Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 452Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 453Praktische Lösungsmethode: Variation der Konstanten 454Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 455Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 456Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 460Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 461Äquivalenz einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einem System erster Ordnung 462Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung lösen 463Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 463Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 464Spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 465Anwendungen in der Schwingungslehre 467Teil VII Der Top-Ten-Teil 469Kapitel 21 Zehn Ratschläge für einen erfolgreichen Abschluss Ihres Mathekurses 471Der Kurs beginnt pünktlich in der ersten Vorlesung 471Besuchen Sie die Vorlesungen und Übungen 472Verschaffen Sie sich ordentliche Mitschriften 472Schauen Sie auch in die Bücher 472Lösen Sie die wöchentlichen Übungsaufgaben 473Gruppenarbeit nicht ausnutzen 473Lernen Sie nicht nur für die Klausur 473Klausurvorbereitung beginnt nicht einen Tag vorher 474Aus Fehlern lernen 474Der eigene Kurs ist immer der wichtigste! 474Zu guter Letzt ̆ 475Stichwortverzeichnis 477