Grundlagen der Analysis für Dummies

Krystle Rose Forseth ist Leiterin der Mathematik-Abteilung im Fusion Learning Center und der Fusion Academy. Christopher Burger lehrt seit über zehn Jahren Mathematik und arbeitet ebenfalls am Fusion Learning Center. Michelle Rose Gilman ist Geschäftsführerin des Fusion Learning Center.

• Einführung 19Über dieses Buch 19Konventionen in diesem Buch 20Törichte Annahmen über den Leser 20Aufbau dieses Buches 21Teil I: Aufstellen, Lösen, Zeichnen 21Teil II: Die wichtigsten Grundlagen der Trigonometrie 21Teil III: Analytische Geometrie und die Lösung von Gleichungssystemen 21Teil IV: Der Teil der Zehn 22Symbole in diesem Buch 22Wie es weitergeht 23Teil I Aufstellen, Lösen, Zeichnen 25Kapitel 1 Themen aus der Mathematik vor den Grundlagen der Analysis 27Grundlagen der Analysis: Ein Überblick 27Zahlengrundlagen (und nein, hier wird nicht gezählt!) 29Die Vielfalt der Zahlentypen: Begriffe, die Sie kennen sollten 29Die grundlegenden Operationen für Zahlen 30Die Eigenschaften von Zahlen: Was Sie sich unbedingt merken sollten! 31Mathematische Aussagen in sichtbare Form bringen: Spaß mit Graphen 32Grundlegende Begriffe und Konzepte kennen lernen 32Graphen für Gleichungen im Vergleich zu Ungleichungen 33Informationen aus Graphen ablesen 34Der Umgang mit dem graphischen Taschenrechner 36Kapitel 2 Reelle Zahlen 39Ungleichungen lösen 39Eine kurze Wiederholung zu Ungleichungen 39Gleichungen und Ungleichungen mit Absolutwerten lösen 40Lösungen für Ungleichungen unter Verwendung der Intervallnotation ausdrücken 42Variationen zur Division und Multiplikation: Wurzeln und Exponenten 44Wurzeln und Exponenten definieren und einander zuordnen 44Wurzeln als Exponenten umschreiben (oder rationale Exponenten erzeugen) 45Eine Wurzel aus dem Nenner entfernen: Rationalisieren 46Kapitel 3 Die Voraussetzung für die Grundlagen der Analysis: Funktionen 49Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen und ihre Graphen 49Grundfunktionen (die gebräuchlichsten) und ihre Graphen 50Quadratische Funktionen 50Quadratwurzelfunktionen 51Absolutwertfunktionen 52Kubikfunktionen 52Kubikwurzelfunktionen 53Transformation der Grundgraphen 54Vertikale Transformationen 55Horizontale Transformationen 56Translationen 57Spiegelungen 59Kombinationen verschiedener Transformationen (selbst wieder eine Transformation!) 60Punktweise Transformation von Funktionen 62Graphen für Funktionen erstellen, die mehrere Regeln verwenden: Stückweise Funktionen 63Ausgabewerte für rationale Funktionen berechnen 65Schritt 1: Suche nach vertikalen Asymptoten 65Schritt 2: Suche nach horizontalen Asymptoten 66Schritt 3: Schräge Asymptoten suchen 67Schritt 4: Die x- und y-Schnittpunkte finden 67Die Ergebnisse umsetzen: Graphen rationaler Funktionen 68Der Nenner hat den höheren Grad 68Zähler und Nenner haben denselben Grad 71Der Zähler hat den höheren Grad 72Operationen auf Funktionen: Ganz ohne Skalpell 73Addieren und Subtrahieren 74Multiplizieren und Dividieren 75Die Verknüpfung von Funktionen verstehen 76Anpassung des Definitionsbereichs und des Wertebereichs verknüpfter Funktionen (falls nötig) 76Wechselspiele mit inversen Funktionen 79Den Graphen einer Inversen darstellen 79Invertierung einer Funktion, um ihre Inverse zu finden 81Eine Inverse überprüfen 81Kapitel 4 Nullstellen finden und nutzen, um die Graphen von Polynomfunktionen darzustellen 83Die Bedeutung von Graden und Nullstellen 83Einen Polynomausdruck faktorisieren 85Immer der erste Schritt: Die Suche nach einem ggT 86Bringen Sie Ordnung hinein: Die EAIL-Methode für Trinome 87Spezielle Polynomtypen erkennen und faktorisieren 89Gruppieren, um vier oder mehr Terme zu faktorisieren 92Die Nullstellen einer faktorisierten Gleichung bestimmen 94Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Quadratformel) – falls nicht faktorisiert werden kann 94Die Quadratformel anwenden 95Die quadratische Ergänzung 95Nicht faktorisierbare Polynome mit einem höheren Grad als 2 auflösen 97Alle Nullstellen eines Polynoms zählen 97Die reellen Nullstellen erkennen: Die Vorzeichenregel von Descartes 97Imaginäre Nullstellen zählen: Der Fundamentalsatz der Algebra 98Reelle Nullstellen raten und prüfen 100Und jetzt rückwärts: Mit Hilfe von Lösungen Faktoren finden 106Graphen von Polynomen zeichnen 107Wenn alle Nullstellen reelle Zahlen sind 107Wenn einige (oder alle) der Nullstellen imaginäre Zahlen sind: Alle Techniken kombinieren 110Kapitel 5 Exponentielle und logarithmische Funktionen 113Exponentialfunktionen 114Die wichtigsten Eigenschaften einer Exponentialfunktion 114Graphendarstellung und Transformation einer Exponentialfunktion 116Logarithmen: Die Umkehr der Exponentialfunktionen 118Logarithmen in den Griff kriegen 118Eigenschaften und Beziehungen von Logarithmen 119Die Basis eines Logarithmus ändern (wenn es sich um keinen natürlichen oder allgemeinen Logarithmus handelt) 120Eine Zahl berechnen, deren Logarithmus Sie kennen: Inverse Logarithmen 121Graphen von Logarithmen 121Gleichungen mit Exponenten und Logarithmen lösen 125Die Lösung von Exponentialgleichungen schrittweise erklärt 125Schritte zur Lösung logarithmischer Gleichungen 127Textaufgaben mit Exponentialgleichungen lösen 129Teil II Die Wichtigsten Grundlagen Der Trigonometrie 133Kapitel 6 Winkel und der Einheitskreis 135Bogenmaß: Das Basis-Maß in den Grundlagen der Analysis 135Trigonometrische Verhältnisse: Rechtwinklige Dreiecke einen Schritt weiter führen 136Einen Sinus schaffen 137Die Suche nach dem Kosinus 138Weiter zum Tangens 139Die Kehrseite: Reziproke trigonometrische Funktionen 140Die Umkehr: Inverse trigonometrische Funktionen 141Trigonometrische Verhältnisse und ihr Verhalten in der Koordinatenebene 142Den Einheitskreis in den Griff bekommen 145Machen Sie sich mit den gebräuchlichsten Winkeln vertraut 145Ungebräuchliche Winkel zeichnen 146Spezielle Winkelverhältnisse 148Der 45er: 45°–45°–90°-Dreiecke 148Das alte 30–60: 30°–60°–90°-Dreiecke 149Zusammenführung von Dreiecken und dem Einheitskreis: Einigkeit macht stark! 150Die wichtigsten Winkel ohne Winkelmesser korrekt platzieren 151Werte trigonometrischer Funktionen auf dem Einheitskreis finden 153Den Referenzwinkel finden, um nach Winkeln auf dem Einheitskreis aufzulösen 158Nicht nur was für Robin Hood: Bögen erstellen und messen 163Kapitel 7 Graphen und Transformationen von trigonometrischen Funktionen 165Grundgraphen für Sinus und Kosinus skizzieren 165Der Sinus-Graph 166Der Kosinus-Graph 168Die Graphen von Tangens und Kotangens 169Tangens 170Kotangens 172Sekans und Kosekans in Bildern 174Sekans 174Kosekans 176Trigonometrische Graphen transformieren 177An den Graphen von Sinus und Kosinus herumbasteln 178Änderung der Amplitude 178Graphen von Tangens und Kotangens anpassen 179Die Graphen von Sekans und Kosekans transformieren 192Kapitel 8 Trigonometrische Identitäten: Die Grundlagen 197Bedenke das Ende: Eine schnelle Einführung in das Thema Identitäten 198Der Zweck heiligt die Mittel: Grundlegende trigonometrische Identitäten 198Kehrwert-Identitäten 199Pythagoräische Identitäten 201Gerade/Ungerade-Identitäten 204Kofunktions-Identitäten 205Periodizitäts-Identitäten 207Schwierige trigonometrische Beweise: Ein paar Techniken, die Sie kennen sollten 209Nervtötende Nenner 210Auf jeder Seite unabhängig arbeiten 213Kapitel 9 Es geht weiter: Identitäten für Fortgeschrittene! 217Trigonometrische Funktionen von Summen und Differenzen finden 217Den Sinus von (a ± b) bestimmen 218Den Kosinus von (a ± b) berechnen 222Den Tangens von (a ± b) berechnen 224Die Summen- und Differenzformeln auf Beweise anwenden 226Den trigonometrischen Wert eines Winkels verdoppeln, ohne den Winkel zu kennen 227Den Sinus eines verdoppelten Winkels bestimmen 227Den Kosinus für zwei berechnen 229Quadrieren Sie Ihre Sorgen weg! 230Doppelter Spaß mit dem Tangens 231Trigonometrische Funktionen allgemeiner Winkel, dividiert durch zwei 232Ausblick auf die Analysis: Von Produkten zu Summen und zurück 234Produkte als Summen (oder Differenzen) ausdrücken 234Von Summen (oder Differenzen) zu Produkten 236Exponenten trigonometrischer Funktionen mit Hilfe der Formeln zur Potenzreduzierung eliminieren 237Kapitel 10 Schiefe Dreiecke mit dem Sinus- und dem Kosinussatz bestimmen 239Ein Dreieck mit dem Sinussatz lösen 240Zwei Winkel sind bekannt 241Zwei bekannte aufeinander folgende Seitenlängen (SSW) 244Einem Dreieck mit dem Kosinussatz zu Leibe rücken 250SSS: Winkel bestimmen, wenn nur die Seiten bekannt sind 251SWS: Der Winkel in der Mitte (und die beiden Seiten) 253Das Dreieck durch Berechnung der Fläche bestimmen 255Fläche anhand von zwei Seiten und einem dazwischen liegenden Winkel bestimmen (für SWS-Szenarien) 255Die Formel von Heron (für SSS-Szenarien) 255Teil III Analytische Geometrie und die Lösung von Gleichungssystemen 257Kapitel 11 Eine neue Denkweise: Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten 259Ein Vergleich zwischen reellen und imaginären Zahlen (und wie die Mathematiker sie sehen) 259Reell und imaginär kombinieren: Das komplexe Zahlensystem 261Die Bedeutung komplexer Zahlen verstehen 261Operationen mit komplexen Zahlen 261Komplexe Zahlen graphisch darstellen 263Polarkoordinaten 264Die Polarkoordinatenebene 265Polarkoordinaten mit negativen Werten graphisch darstellen 267In und von Polarkoordinaten umrechnen 269Polargleichungen graphisch darstellen 272Kapitel 12 Kegelschnitte 275Kegel an Kegel: Die vier Kegelschnitte 276Im Bilde (Graphenform) 276Schriftlich (Gleichungsform) 277Es geht rund: Kreise 278Einen Kreis zeichnen 279Auf und ab mit Parabeln 281Beschriftung der Teile 281Die Eigenschaften einer Standardparabel 282Variationen zeichnen: Parabeln in der Ebene (und nicht im Ursprung) 283Bestimmung von Scheitel, Symmetrieachse, Brennpunkt und Leitlinie 284Minimum- und Maximumwerte vertikaler Parabeln bestimmen 288Ellipsen (ein lustiges Wort für Ovale) 289Ellipsen beschriften und algebraisch ausdrücken 290Teile des Ovals identifizieren: Scheitel, Nebenscheitel, Achsen und Brennpunkte 291Hyperbeln – ein Parabelnpaar 294Die beiden Hyperbeltypen und ihre Bestandteile visualisieren 294Den Graphen einer Hyperbel aus der Gleichung ableiten 296Die Gleichung von Asymptoten finden 298Kegelschnitte außerhalb der Welt der kartesischen Koordinaten ausdrücken 299Kegelschnitte in parametrischer Form zeichnen 299Gleichungen von Kegelschnitten in der Polarkoordinatenebene 301Kapitel 13 Gleichungssysteme und Matrizen 305Eine Einführung zu den Lösungsverfahren von Gleichungssystemen 306Lösungen von Systemen mit zwei Gleichungen algebraisch bestimmen 307Lineare Systeme lösen 307Nicht lineare Systeme 311Systeme mit mehr als zwei Gleichungen lösen 313Partialbruchzerlegung 316Ungleichungssysteme 317Matrizen: Grundlagen 319Grundlegende Operationen für Matrizen 320Matrizen miteinander multiplizieren 321Matrizen vereinfachen, um den Lösungsprozess leichter zu machen 324Ein System in Matrizenform darstellen 324Reduzierte Zeilenstufenform 325Erweiterte Form 327Matrizen beherrschen 328Mit der Gaußschen Eliminierung Systeme lösen 328Eine Matrix mit ihrer Inversen multiplizieren 331Mit Determinanten arbeiten: Die Cramersche Regel 334Kapitel 14 Folgen, Reihen und die Entwicklung von Binomen 339Folgerichtig: Die allgemeine Vorgehensweise 339Die Terme einer Folge mit Hilfe des Folgenausdrucks berechnen 340In die umgekehrte Richtung arbeiten: Anhand von Termen einen Ausdruck bilden 340Rekursive Folgen: Eine Art allgemeine Folge 341Den Abstand zwischen Termen berechnen: Arithmetische Folgen 342Mit Hilfe aufeinander folgender Terme einen weiteren Term in einer arithmetischen Folge finden 343… mit Hilfe von zwei beliebigen Termen 343Gleiche Verhältnisse aufeinander folgender Terme: Geometrische Folgen 344Einen Term identifizieren, wenn man aufeinander folgende Terme kennt 345Außer der Reihe: Einen Term finden, wenn die Terme nicht aufeinander folgend sind 346Eine Reihe erstellen: Die Terme einer Folge aufsummieren 347Die allgemeine Summennotation 347Die Summe einer arithmetischen Folge bilden 348Aufaddieren geometrischer Folgen 349Weiter mit dem binomischen Lehrsatz 352Der binomische Lehrsatz und seine Bestandteile 353Wir beginnen ganz vorne: Binomische Koeffizienten 354Mit dem binomischen Satz entwickeln 355Kapitel 15 Ausblick auf die Analysis 361Der Unterschied zwischen den Grundlagen der Analysis und der Analysis 361Grenzwerte verstehen und darüber sprechen 363Den Grenzwert einer Funktion finden 363Graphisch 364Analytisch 365Algebraisch 366Mit Grenzwerten arbeiten: Die Grenzwertsätze 369Stetigkeit von Funktionen überprüfen 370Feststellen, ob eine Funktion stetig ist 370Der Umgang mit der Unstetigkeit 370Kapitel 16 Grenzwerte auswerten 373Einfache Grenzwerte 373Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 373Einsetzen und Einkochen 374Die »echten« Aufgabenstellungen mit Grenzwert 374Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 375Aufgabenstellungen mit Grenzwert algebraisch lösen 377Machen Sie eine Pause – mit einem Grenzwert-Sandwich 380Grenzwerte bei unendlich auswerten 385Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 386Grenzwerte bei unendlich mit einem Taschenrechner lösen 387Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 388Kapitel 17 Differentiation – Orientierung 391Differentiation: Sucht die Steigung! 392Die Steigung einer Geraden 394Die Ableitung einer Geraden 396Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 397Analysis auf dem Spielplatz 397Geschwindigkeit – die uns vertrauteste Änderungsrate 398Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 399Die Ableitung einer Kurve 400Der Differenzquotient 402Durchschnittliche Änderungsrate und unmittelbare Änderungsrate 409Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 409Kapitel 18 Integration und Flächenannäherung – Ein Einstieg 411Integration: Einfach eine seltsame Addition 411Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 413Der Umgang mit negativen Flächen 416Flächen annähern 416Flächen mit Hilfe linker Summen annähern 416Flächen mit Hilfe rechter Summen annähern 419Flächen mit Mittelpunktsummen annähern 422Die Summennotation 423Die Grundlagen summieren 424Riemann-Summen in Sigma-Notation 424Exakte Flächen mit Hilfe des bestimmten Integrals ermitteln 427Flächen annähern mit der Trapezregel und der Simpson-Regel 430Die Trapezregel 430Die Simpson-Regel – Thomas (1710–1761), nicht Homer (1987–) 433Teil IV Der Teil Der Zehn 435Kapitel 19 Zehn Gewohnheiten, die Ihnen bei der Analysis helfen 437Lesen Sie genau, wie die Aufgabe lautet! 437Zeichnen Sie Bilder (viele Bilder!)! 438Planen Sie Ihren Angriff! 438Schreiben Sie sich alle Formeln auf! 439Zeigen Sie jeden Schritt Ihrer Arbeit! 440Erkennen Sie, wann Sie aufhören sollten! 440Überprüfen Sie Ihre Lösungen! 441Üben Sie! 441Stellen Sie sicher, dass Sie die Konzepte verstanden haben! 442Löchern Sie Ihren Lehrer mit Fragen! 442Kapitel 20 Zehn Dinge, die Sie sich abgewöhnen sollten, bevor Sie mit der Analysis beginnen 443Falsche Operatorreihenfolge 443Quadrieren ohne EAIL 443Nenner aufsplitten 444Falsche Terme zusammenfassen 444Den Kehrwert vergessen 444Minuszeichen vergessen 445Übervereinfachung von Wurzeln 445Exponentielle Irrtümer 445Zu schnell kürzen 446Falsch Einmultiplizieren 447Stichwortverzeichnis 449