Differenzialgleichungen für Dummies

Steven Holzner hat mehr als 130 Bücher zu naturwissenschaftlichen, mathematischen, betriebswirtschaftlichen und IT-Themen geschrieben. Er war Professor am MIT und an der Cornell University.Timm Sigg ist Professor für Mathematik an der Hochschule für Technik Stuttgart. In seinem eigenen Kabarettprogramm »Die Leiden des jungen Professors« besingt er unter anderem seine Liebe zum Hörsaal in Reimform.

• Einleitung 17Über dieses Buch 17Konventionen in diesem Buch 17Was Sie nicht lesenmüssen 18Törichte Annahmen über den Leser 18Wie dieses Buch aufgebaut ist 18Teil I: Was Sie alles brauchen – die Zutaten 19Teil II: Es wird spannend – Differenzialgleichungen erster Ordnung 19Teil III: Differenzialgleichungen höherer Ordnung und fortgeschrittene Techniken 19Teil IV: Der Top-Ten-Teil 20Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 20Wie es weitergeht 20Teil I Was Sie Alles Brauchen – Die Zutaten 21Kapitel 1 Differenzieren – die wichtigste Tätigkeit in diesem Buch 23Was ist denn eine Ableitung? 23Schreibweisen der ersten Ableitung 25Schreibweise der höheren Ableitungen 25Ableitungen der elementaren Funktionen 26Ableitungsregeln 28Summen- und Faktorregel 28Produktregel 28Quotientenregel 30Kettenregel 31Alles zusammen 37Kapitel 2 Integrieren – genauso wichtig wie das Differenzieren 39Unbestimmtes Integral 39Schreibweise mit Schlangenzeichen 42Bestimmtes Integral 43Drei Methoden, mit denen Sie (fast) jedes Integral knacken 45Integration durch Substitution 45Substitution am bestimmten Integral 46Substitution am unbestimmten Integral 47Partielle Integration 48Partielle Integration – die Vorgehensweise 49Integralberechnung mittels Partialbruchzerlegung 51Partialbruchzerlegung – die Vorgehensweise 51Kapitel 3 Komplexe Zahlen? Ja! Komplexe Sache? Nein! 59Was sind komplexe Zahlen? 60Die drei Darstellungen 63Die kartesische Darstellungmit x und y 63Die Polardarstellung mit r, 𝜑, Sinus und Kosinus 64Die exponentielle Darstellung mit r, 𝜑 und der e-Funktion 65Umrechnung der Darstellungen 65Umrechnung von (exponentiell beziehungsweise polar) in kartesisch 66Umrechnung von kartesisch in (exponentiell beziehungsweise polar) 66Rechnenmit komplexen Zahlen 67Die konjugiert komplexe Zahl 68Das Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen 69Das Multiplizieren komplexer Zahlen 69Das Dividieren komplexer Zahlen 70Das Potenzieren komplexer Zahlenmit reellen Potenzen 71Die n Lösungen der Gleichung zn = w 71Die zwei Lösungen der Mitternachtsformel 73Kapitel 4 Matrizen und nicht Matratzen 75Grundlegendes zu den Matrizen 76Rechnenmit Matrizen 77Addieren und Subtrahieren von Matrizen 77Multiplizieren von Matrizen 77Determinante 81Berechnung einer (2 × 2)-Determinante 81Berechnung einer (3 × 3)-Determinante 82Sarrus-Regel 82Berechnung einer (n × n)-Determinante 85Inverse Matrix 86Kapitel 5 Eigenwertprobleme sind keine Probleme 89Was sind Eigenwertprobleme, wenn es keine Probleme sind? 89Berechnung der Eigenwerte 90Berechnung von Eigenvektoren 92Berechnung reeller Eigenvektoren 92Berechnung komplexer Eigenvektoren 95Teil II ES Wird Spannend – Differenzialgleichungen Erster Ordnung 97Kapitel 6 Was sind Differenzialgleichungen? 99Ableitungen, Steigungen, Krümmungen 100Ort – Geschwindigkeit – Beschleunigung 102Differenzialgleichungen – Anfangswertprobleme – Randwertprobleme 109Unterschied zwischen der allgemeinen Lösung und der Lösung eines Anfangswertproblems 111Differenzialgleichungssysteme 112Gekoppelte Differenzialgleichungen 113Lineare Systeme – Matrizen 114Kapitel 7 Für jede Differenzialgleichung eine passende Schublade.117Differenzialgleichungen klassifizieren 117Gewöhnlich versus partiell 118Linearität 118Homogenität 119Ordnung 120Beispiele 121Differenzialgleichungssysteme klassifizieren 122Kapitel 8 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 125Grundlagen für die Lösung linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung 126Das große Ganze mithilfe der Richtungsfelder erkennen 126Ein Richtungsfeld zeichnen 126Verbindung von Steigungen zu einer Integralkurve 127Erkennen des Gleichgewichtswerts 129Anfangsbedingungen von Anfang an anwenden 129Und jetzt lösen wir Differenzialgleichungen mit Funktionen 131Und jetzt nehmen wir ein paar Konstanten dazu 131Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung mithilfe von Integrationsfaktoren lösen 132Nach einem Integrationsfaktor suchen 132Mithilfe eines Integrationsfaktors eine Differenzialgleichung lösen 133Der nächste Schritt: Integrationsfaktoren in Differenzialgleichungen mit Funktionen einsetzen 134Und jetzt eine ganz besondere Abkürzung! 135Ein fortgeschrittenes Beispiel lösen 137Prüfen, ob eine Lösung für eine Differenzialgleichung erster Ordnung existiert 140Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Differenzialgleichungen 140Die allgemeine Lösung finden 141Ein paar Beispiele für Existenz und Eindeutigkeit 142Feststellen, ob es eine Lösung für eine nichtlineare Differenzialgleichung gibt 143Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für nichtlineare Differenzialgleichungen 144Beispiele für den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für nichtlineare Differenzialgleichungen 144Kapitel 9 Separierbare Differenzialgleichungen erster Ordnung 147Die Grundlagen separierbarer Differenzialgleichungen 148Einfach anfangen: Lineare separierbare Gleichungen 149Implizite Lösungen 149Explizite Lösungen aus impliziten Lösungen ableiten 151Schwer zu knacken: Wann es keine explizite Lösung gibt 154Trick: Nichtlineare separierbare Gleichungen in lineare separierbare Gleichungen umwandeln 155Einige separierbare Gleichungen aus der Praxis 157Ein Flussproblem in den Griff bekommen 157Eine monetäre Aufgabenstellung 160Partialbrüche in separierbaren Gleichungen 164Kapitel 10 Exakte Differenzialgleichungen erster Ordnung und die Euler-Methode 167Grundlagen exakter Differenzialgleichungen 167Exakte Differenzialgleichungen definieren 168Eine typische exakte Differenzialgleichung berechnen 169Feststellen, ob eine Differenzialgleichung exakt ist 170Einen praktischen Satz ausprobieren 170Den Satz anwenden 171Nicht exakte Differenzialgleichungen mit Integrationsfaktoren bezwingen 173Einen Integrationsfaktor finden 174Mithilfe eines Integrationsfaktors eine exakte Gleichung erhalten 176Der letzte Schliff: Die exakte Gleichung lösen 177Mit der Euler-Methode numerisch werden 178Die Methode verstehen 178Die Genauigkeit der Methode auf einem Computer überprüfen 180Differenzengleichungen 186Ein bisschen praktische Terminologie 186Iterative Lösungen 187Gleichgewichtslösungen 188Teil III Differenzialgleichungen Höherer Ordnung Und Fortgeschrittene Techniken.191Kapitel 11 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 193Grundlegendes und Wissenswertes 194Stufe 1: Die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung 195Charakteristisches Polynom 197Stufe 2: Die partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung 205Ansatz für y𝑝(x) 206Bestimmung der Konstanten aus dem Ansatz 211Beispiele – Beispiele – Beispiele 214Erstes Beispiel 214Abschließendes Beispiel der übleren Sorte 216Gleichungen mit der Methode der Parametervariation lösen 220Ein typisches Beispiel 221Die Methode auf beliebige lineare Gleichungen anwenden 223Die speziellen und allgemeinen Lösungen der inhomogenen Gleichung 224Ein schönes Paar! Die Parametervariation trifft die Wronski-Determinante 226Kapitel 12 Es wird ernst: Potenzreihen und reguläre Punkte 229Grundlagen der Potenzreihen 229Mit dem Quotientenkriterium die Konvergenz einer Potenzreihe feststellen 230Die Grundlagen des Quotientenkriteriums 230Den Reihenindex verschieben 233Taylor-Reihen 233Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mithilfe von Potenzreihen lösen 234Wenn Sie die Lösung bereits kennen 235Wenn die Lösung nicht im Voraus bekannt ist 242Ein berühmtes Problem: Die Airy-Gleichung 245Kapitel 13 Singuläre Punkte 249Die Grundlagen singulärer Punkte 249Singuläre Punkte finden 250Das Verhalten singulärer Punkte 250Reguläre und irreguläre singuläre Punkte 251Erstaunliche Euler-Gleichungen 255Reelle und unterschiedliche Nullstellen 256Reelle und gleiche Nullstellen 257Komplexe Nullstellen 258Mit einem Satz alles zusammenfassen 260Reihenlösungen in der Nähe singulärer Punkte bestimmen 260Die allgemeine Lösung identifizieren 260Grundlagen für die Lösung von Gleichungen in der Nähe singulärer Punkte 262Mit den Nullstellen arbeiten 264Ein numerisches Beispiel für die Lösung einer Gleichung in der Nähe singulärer Punkte 265Die zweite Nullstelle einsetzen 268Eine genauere Betrachtung der Kenngleichungen 270Kapitel 14 Laplace-Transformationen 273Eine typische Laplace-Transformation genauer betrachten 273Entscheiden, wann eine Laplace-Transformation konvergiert 274Grundlegende Laplace-Transformationen berechnen 275Die Transformation von 1 276Die Transformation von 𝑒𝑎𝑡 276Die Transformation von sin(at) 276Eine praktische Tabelle sorgt für Erleichterung 278Differenzialgleichungen mithilfe von Laplace-Transformation lösen 279Einige Sätze bringen Sie auf den Weg 280Eine homogene Gleichung zweiter Ordnung lösen 281Eine inhomogene Gleichung zweiter Ordnung lösen 285Eine Gleichung höherer Ordnung lösen 289Laplace-Transformationen faktorisieren und Faltungsintegrale 291Eine Laplace-Transformation in Brüche faktorisieren 292Faltungsintegrale genauer betrachten 292Schrittfunktionen beobachten 294Definition der Schrittfunktion 294Die Laplace-Transformation der Schrittfunktion ermitteln 295Kapitel 15 Drei ausfallsichere numerische Methoden 297Zahlenknackenmit der Euler-Methode 298Die Grundlagen der Methode 298Mithilfe von Code die Methode in der Praxis beobachten 299Die verbesserte Euler-Methode 303Die Verbesserungen 304Der neue Code 304Eine steilere Steigung in den neuen Code einfügen 309Nochmehr Genauigkeit durch die Runge-Kutta-Methode 313Die Rekursionsrelation der Methode 313Mit der Methode im Code arbeiten 314Kapitel 16 Differenzialgleichungssysteme 319Die Metamorphose: Verwandlung in ein Differenzialgleichungssystem 320Beispiel 1 für die sagenhafte Umwandlung 320Beispiel 2 für die sagenhafte Umwandlung 321Lösen von linearen homogenen Differenzialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten 322Mit dem richtigen Ansatz zum Ziel finden 324Beispiel zu reellen und verschiedenen Eigenwerten 326Beispiel zu reellen und teilweise gleichen Eigenwerten 328Beispiel zu teilweise konjugiert komplexen Eigenwerten 330Teil IV Der Top-Ten-Teil 335Kapitel 17 Zehn Dinge, die Sie über Differenzialgleichungen wissen MÜSSEN 337Nahe Verwandte 337Die Erbanlage 337Tage der Vernunft 337Eulers Großeltern 337Ein besonderer Acker 338Typisch Mathematiker 338Persönlichkeitsstörung 338Exotische Vögel 338Aufgaben der Bäume 338Unerwartete Gemeinsamkeiten 338Lösungen 339Stichwortverzeichnis 341