Quantencomputing für Dummies

Hans-Jürgen Steffens ist Mathematiker und Professor für Software-Engineering und Systemanalyse an der Hochschule Kaiserslautern. Christian Zöllner hat einen Bachelor in Medizintechnischer Informatik und mehrjährige Erfahrung in der Hochschullehre. Kathrin Schäfer studiert noch und hat selbst gerade erst alle Mathescheine für Angewandte Informatik bestanden.

• Über den Autor 9Einleitung 21Über dieses Buch 21Törichte Annahmen über die Leser 21Vor welchen speziellen Herausforderungen standen wir? 23Wo liegen die verstandesmäßigen Knackpunkte? 23Damit stehen wir vor der folgenden Aufgabe 24Umgang mit der Komplexität 24Was muten wir zu? 25Wie dieses Buch aufgebaut ist 26Eingestreute »two cents« 28Was wir draußen ließen 28Konventionen und Symbole in diesem Buch 29Danksagungen 29Widmungen 30Teil I: Neue Phänomene und neue Betrachtungsweisen 31Kapitel 1 Quantencomputing – hope or hype? 35Analogcomputer – Digitalcomputer – Quantencomputer 36Konzepte des Quantencomputers 37Verheißungen 38Höher – schneller – weiter 38Ein heiliger Gral des Quantencomputing 39Verheißungen im Überblick 40Berechenbarkeit und ihre Grenzen 41Weitere Vereinheitlichungen in der Physik 41Die Welt als prinzipiell berechenbares Uhrwerk 42Neue Vorstellungen – neue Formeln – neue Datenstrukturen 42Kapitel 2 Unterschiede, die einen Unterschied machen 47Bits und Qubits 48Bits 48Qubits 48Das geometrische Bild eines Qubit 49Algebraische Beschreibung eines Qubit 53Im Herzen des Quantencomputing 55Ein erster Einstieg – dense coding 55Operationen mit Vektoren – Ausblick auf Matrizen 59Kapitel 3 Matrizen 61Zum Einsatz und zur Handhabung von Matrizen 61Beispiel: Fertigungskosten und ihre Abhängigkeiten 62Zwischenbetrachtung: Klassische Bits und Bitfolgen als Vektoren 64Bits implementiert als spezielle Qubits 64Irritationen beim Übergang zum kartesischen Produkt 65Wenn nicht das kartesische Produkt – was dann? 66Welche Hypothek gehen wir mit dem Tensorprodukt gegenüber der Natur ein? 67Bits als Vektoren: ein erstes Resümee 70Bellzustände 71Lineare Operationen auf Tensorräumen 71Operationen zur Erzeugung einer Bell-Basis 71Transformationen der Bell-Basis 75Was ist nun das Besondere der Bell-Basis 77Dense coding – revisited 79Ausblicke 80Kapitel 4 Teleportation – abstrakt und physikalisch 81Beam me up, Scotty 82Teleportation für Mathematiker 82Ein erstes Resümee der mathematischen Beschreibung 87Teleportation für Physiker 87Resümee der physikalischen Beschreibung 94Teil II: Neue Spielregeln in der Physik 95Kapitel 5 Hinter dem Monitor 97Die klassische Sichtweise 98Klassische Physik 98Ein Blick hinter den Monitor… 99… und hinter die Physik 99Kapitel 6 Abstieg in die Unterwelt 103Geänderte Spielregeln 104Skalierungen 104»Law without law« 105Berechnungen des Zufalls 106Was läuft in der Mikrophysik »schief« – oder besser: anders 112Auf welche Weise kommen Elementarereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten zustande? 112Amplituden – Zusammenfassung ihrer funktionalen Prinzipien 120R-Prozesse – Messungen 121Doppelspalt – revisited 122U-Prozesse – ungestörte Dynamik 125Beschreibung der U-Prozesse 126Einige »Gretchenfragen« 126Infinite (?) Regresse 126Management Summary 127Der zu zahlende Preis 128Letzte Notizen zum Messproblem in der Quantenmechanik 129Versuche der Widerspruchsauflösung 130Teil III: Qubits und ihre Operatoren 133Kapitel 7 Bits – als Vektoren betrachtet 135Bits und Qubits 136Vorbereitung des Übergangs von Bits zu Qubits – Bits als Vektoren 136Der Übergang von logischen Operationen zu unitären Operatoren – ternäre Operatoren 142Wo stehen wir nun – und wo wollen wir hin? 146Kapitel 8 Qubits – revisited 147Qubits und ihre Operatoren 147Das einzelne Qubit und seine Blochsphäre 148Unitäre Operatoren auf dem einzelnen Qubit 152Noch mehr unitäre Operatoren 157Universalitätseigenschaften der Qubit-Operationen 162Notizen zu physikalischen Implementierungen 163Quantensysteme mit zwei (ausgezeichneten) Zuständen 164Kapitel 9 Methoden der Fehlerbehandlung 165Das No-Cloning-Theorem 166Bitflip-Codes 167Implementierung des Bitflip-Codes 167Zur Messbarkeit einzelner Bitflips 168Identifikation und Korrektur eines Bitflips an beliebiger Stelle 170Phasenflip-Codes 171Rückführung von Phasenflips auf Bitflips 172Shor-Code 173Teil IV: Quantenfouriertransformationen und mehr 175Kapitel 10 Fouriertransformationen 177Vorüberlegungen zur Fourieranalyse 178Periodische Funktionen 178Zur Fourieranalyse 180Formeln der Fourieranalyse 181Auf dem Weg zur diskreten Fouriertransformation 183Ein kurzer Steilkurs in Modulorechnung 183Die Relevanz der Ordnung einer Klasse für die Primfaktorzerlegung 185Zwischenresümee: Wo stehen wir, wo wollen wir hin? 185Eine Herleitung der diskreten Fouriertransformation 186Übergang von einer Zahlenfolge zu einer Treppenfunktion 187Die diskrete Fouriertransformation als lineare Abbildung 188Normierung der Transformationsmatrix 189Die Quantenfouriertransformation 190Zur Power eines N-Qubit-Systems 190Codierung der Basis eines N-Qubit-Systems 191Eingaben in die Quantenfouriertransformation 192Zur Aufbereitung der Quantenfouriertransformierten 193Dualbrüche in e2πi kj 2n 194Abschließende Regruppierung der Quantenfouriertransformierten 196Management Summary: Mathematische Aufbereitung der Quantenfouriertransformierten 198Implementierung der Quantenfouriertransformation 198Gewinnung des Phasenfaktors e(2πi)(0,jn−l+1···jn)2 199Schaltbilder für die Quantenfouriertransformation 201Kapitel 11 Anwendungen der Quantenfouriertransformation 203Phasenschätzung 204Iterierte U-Operationen 204Spezialfall: 𝜑 = (0, 𝜑1𝜑2 · · · 𝜑t)2 205Näherungen 207Management Summery: Phasenabschätzung von e2πi𝜑 210Folgerungen der Phasenabschätzung: Wege zum Bestimmen der »Ordnung« einer Zahl 211Iterierte Multiplikation mit einem festen [x] 211Parallele Verarbeitung der Eigenvektoren |us⟩ 213Finale der Berechnung der Ordnung 215Management Summery: Berechnung der Ordnung einer Zahl 216Der Shor-Agorithmus 217Konsequenzen für die Kryptologie 218Teil V: Weitere Anwendungen 219Kapitel 12 »Feind hört (nicht) mit« 221Zum Einstein-Podolski-Rosen-Paradoxon 221Bellzustand zweier Teilchen mit Spin 221Hidden variables 222»second two cents« 222Die bellsche Ungleichung 223Berechnung der Erwartungswerte 224Unvereinbarkeit der bellschen Ungleichung mit der Quantenmechanik 226Rollentausch: Teilchen im Bellzustand als Münzen 226Die Rechnungen im Einzelnen 228Relevanz der bellschen Ungleichung für Verschlüsselungsverfahren 231(K)ein »Knacken in der Leitung« 232Symmetrische und asymmetrische Verfahren 233Die Funktionsweise symmetrischer Verschlüsselungsverfahren 233Das BB84-Protokoll 234Zusammenfassung des BB84-Protokolls 239E91-Protokoll 240Kombination mit klassischen Verschlüsselungsverfahren 242Kapitel 13 Wer suchet, der findet (schneller) 245Die Suche im Heuhaufen 245Benutzung eines Quantenschaltkreises 245Idee des Grover-Algorithmus 246Analyse der Grover-Iterationen 246Kapitel 14 Zur Quantensimulation durch Quanten 251Bemerkungen zu analogen Verfahren 252Gradientenstrategien 252Adiabatisches Quantencomputing 254Zum adiabatischen Theorem der Quantenmechanik 255Teil VI: Top Ten Teil 261Kapitel 15 Ein Zusammenspiel von Physik, Mathematik, Informatik und Ingenieurwissenschaften in 10 Schritten 263Und in fernerer Zukunft? – Vision in Rosa 266Anhang 267Anhang A Theoreme zur klassischen Zahlentheorie 269Restklassenringe 269Wohldefiniertheit der Operationen auf den Restklassen 270Der euklidische Algorithmus 271Einheiten in ℤn 272Eulersche 𝜑-Funktion 272Return on Invest – das RSA-Verfahren in der Kryptologie 273Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren 274Das RSA-Verfahren in der Theorie 274Praktische Bemerkungen zum RSA-Verfahren 276Faktorisierung 277Auffinden eines nichttrivialen Faktors von n 277Notizen zu Kettenbrüchen 278Kettenbrüche und ihre Konvergenten 279Finale des Auffindens der gesuchten Ordnung r 281Anhang B Komplexe Zahlen 283Addition und Multiplikation 283Definition der Multiplikation 284Vektoren in der Rolle komplexer Zahlen 285Wichtige Kenngrößen 285Die komplexe e-Funktion 286Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten 287Komplexe Zahlen als Matrizen 288Anhang C Stochastik 291Einführung 291Ereignisse und Elementarereignisse 291Wahrscheinlichkeiten 293Wahrscheinlichkeitsräume 294Benutzung mengentheoretischer Operationen 294Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabängigkeit 295Regeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitenmengentheoretisch verknüpfter Ereignisse 295Wahrscheinlichkeitsräume in der Quantenmechanik 297Elementarereignisse in der Mikrowelt 297Resümee 298Anhang D Identische Teilchen 301Klassischer Münzwurf 301Analyse des Münzwurfs 303»Münzwurf« mit Mikroteilchen 303Anhang E Lineare Algebra in a nutshell 307Vektoren 307Addition 307Skalare Multiplikation 309Skalarprodukt 309Darstellung von Vektoren im dreidimensionalen Raum 310Abstrakte Vektorräume 311Charakterisierung eines abstrakten Vektorraums 311Besonderheiten des komplexen Skalarprodukts 312Linearkombinationen, Basen und Dimensionen 312Normierte Vektoren und Orthonormalbasen 313Hilberträume 313Kartesische und Tensorprodukte 314Tensorprodukte 314Lineare Abbildungen 315Lineare Abbildungen und Matrizen 315Eigenwerte und Eigenvektoren 316Matrizen und Tensorprodukte 316Skalarprodukte auf Tensorräumen 317Unitäre Operatoren 317Hermitesche Operatoren 317Anhang F Wichtige Hermitesche Operatoren in der Quantenmechanik 319Zur physikalischen Interpretation der Wellenfunktion 321Repräsentation der Messapparate 322Die Observablen für Ort und Impuls 324Überblick über die Darstellungen des Orts- und Impulsoperators 327Der Hamiltonoperator 330Eigenwerte und Eigenfunktionen eines freien Teilchens 331Anhang G Schrödingergleichung 333Bedeutung von e−iH⋅t ℏ 333Zur effizienten Berechenbarkeit der Lösungen 335Letzte Spekulationen 336Anhang H Symbolverzeichnis 339Abbildungsverzeichnis 341Stichwortverzeichnis 347