Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

Prof. Dr.-Ing. Günter Lumpe ist seit 1991 Professor für Stahlbau an der Hochschule Biberach. Er war über zehn Jahre im industriellen Stahl- und Anlagenbau praktisch tätig.Prof. Dr.-Ing. Volker Gensichen war im Industrie- und Anlagenbau tätig. Bis 2007 lehrte er Massivbau und Stahlbau an der FH Münster. Er beschäftigt sich mit der Verifikation der Ergebnisse von Statik-Software und ist stellv. Vorsitzender im VDI-Ausschuss "Softwaregestützte Tragsicherheitsnachweise".

• Vorwort Zum Gebrauch dieses Buches 1Teil 1 Zehn einfache Prüfbeispielezur Verifikation von Software-ErgebnissenBeispiel 1 Einachsige Biegung mit Druck 11Kragstütze mit aufgesetztem KoppelträgerBeispiel 2 Durchschlagprobleme –Analyse nach Th.II.O. unzulässig 16Unsymmetrisches v. MISES-Fachwerk mit geringem StichmaßBeispiel 3 Doppelbiegung – ein simpler Fall? 20Gabelgelagerter Einfeldträger mit Einzellasten Fy und Fz in FeldmitteBeispiel 4 Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung –Biegeknicken nach zwei Richtungen, Drillknicken 26Über vier Geschosse durchlaufende, planmäßig zentrisch beanspruchteStütze mit unterschiedlichen Randbedingungen in y- und z-RichtungBeispiel 4a: Gabellagerung in jedem Geschoss 26Beispiel 4b: Gabellagerung nur an den Enden der Stütze 29Beispiel 5 Gekoppelte Beanspruchung in der System-Ebeneund senkrecht zur Ebene 33Ebenes Rautenfachwerk mit biege- und torsionssteifen KnotenBeispiel 6 Biegedrillknicken ohne Normalkraft – ein Standard-Beispiel aus der Literatur 37Gabelgelagerter Einfeldträger mit Streckenlast und sinusförmiger VorkrümmungBeispiel 7 Biegedrillknicken mit Normalkraft 40Abgespannter Träger mit KragarmBeispiel 7a: Anschluss der Abspannung im SchwerpunktBeispiel 7b: Anschluss der Abspannung am ObergurtBeispiel 8 Zustandslinien der Torsionsmomente – Verlauf an Lasteinleitungspunkten 47Tordierter Balken mit Längs- und QuerlastenBeispiel 9 Torsion wölbfreier Querschnitte – für Software unerwartet problematisch 50Tordierter KragträgerBeispiel 10 Wie genau wird die nichtlineare Verformungsgeometrie erfasst? 53Zwei Prüfbeispiele mit ebener BeanspruchungBeispiel 10a: Biegeträger mit beidseitig unverschieblichen Lagern 53Beispiel 10b: Kragträger mit Lastmoment am freien Ende 55Teil 2 Nichtlineare Stabtheorie großer Verformungen bei räumlicher BeanspruchungTheoretische Grundlagen und weitere Prüfbeispiele1 Einleitung 612 Theorie II. und III. Ordnung – die großen Missverständnisse2.1 Vorbemerkungen 622.2 Verformungsgeometrie 632.3 Gleichgewicht am verformten System 642.4 Einfluss der Normalkraft auf die Verdrillung 662.5 Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion und der sekundären Schubverformungen 682.6 Asymptotisches Verhalten und Genauigkeit 722.7 Durchschlagprobleme 752.7.1 Allgemeines 752.7.2 Beispiel: Stahlträger einer pagodenförmigen Kuppel 802.8 Klassifizierung 832.9 Superposition 862.10 Theorie III. Ordnung 862.11 DIN 18800 / EC3: Nachweis am Gesamtsystem 882.12 Zusammenfassung 903 Torsionstheorie II. Ordnung: Wölbkrafttorsion mit Normalkraft3.1 Vorbemerkungen 923.2 Erläuterung der Problematik an einem Beispiel 933.3 Herleitung des Torsionsmomenten-Anteils MxN 953.4 Klärung für den Sonderfall const 983.4.1 Belastung durch MT und N (inhomogener Fall) 983.4.2 Drillknicken (homogener Fall) 1013.4.3 Spannungen 1023.4.4 Baustatische Relevanz 1033.5 Allgemeiner Fall const 1043.5.1 Problemstellung 1043.5.2 Übergangsbedingungen an Lasteinleitungsstellen innerhalb eines Trägers 1053.5.3 Bedingungen am Rand eines Trägers 1083.5.4 Einleitung von MT bzw. Fx : Zusammenfassung 1083.5.5 Drillknicken 1093.5.5.1 DK-Last des beidseitig gabelgelagerten Trägers 1093.5.5.2 Abgrenzung Drillknicken / Biegeknicken (DK / BK) 1103.5.5.3 Einfluss des Wölbwiderstands auf die Drillknicklast 1153.5.5.4 Last-Verdrillungskurven und asymptotisches Verhalten 1174 Torsionstheorie großer Verformungen4.1 Vorbemerkungen 1184.2 Helix-Torsion: der Schraubenlinien-Effekt 1184.2.1 Geometrie der Schraubenlinie (Helix) 1184.2.2 Helix-Normalspannungen xHund Helix-Torsionsmoment MxH 1204.2.3 Ermittlung der Helix-Flächenmomente 1244.2.4 Helix-Schubspannungen xH 1274.3 Torsion mit Normalkraft: Sonderfall const 1294.3.1 Gleichgewicht, Differenzialbeziehung, Drillknicken 1294.3.2 Verformungen und Zustandslinien 1324.3.3 Last-Verdrillungskurven 1324.3.4 Analytische Lösung 1364.3.5 Ausnutzungsgrad des Querschnitts und baustatische Relevanz 1424.4 Torsion mit Normalkraft: allgemeiner Fall const 1474.4.1 Gleichgewicht, Differenzialbeziehung, Drillknicken 1474.4.2 Zustandslinien 1474.4.3 Last-Verdrillungskurve 1504.4.4 Spannungen und Querschnittsausnutzung 1544.5 Analogiebetrachtungen zu MxN und MxHan zwei „Makro-Systemen“ 1584.5.1 Analogiebetrachtung zu MxN 1584.5.2 Analogiebetrachtung zu MxH 1625 Allgemeine Stabtheorie großer räumlicher Verschiebungen und Drehungen5.1 Vorbemerkungen 1665.2 Grundlagen und Annahmen 1675.3 Kinematik des Stabraums 1695.3.1 Annahmen und Voraussetzungen zur Beschreibung der Deformation 1695.3.2 Klassische Kinematik: Drehung mit „Winkelgrößen“ 1705.3.2.1 Rotation um eine schiefe Raumachse 1715.3.2.2 Rotation um raumfeste Koordinatenachsen 1775.3.2.3 Rotation um Folgeachsen (Kardanwinkel) 1785.3.2.4 Semitangentiale Drehungen 1795.3.2.5 Bewertung der Verwendung von „Winkelgrößen“ 1795.3.3 Drehungen, ausgedrückt durch Verschiebungen 1805.3.3.1 Basisvektoren und Ableitungen 1825.3.3.2 Drehtensor 1835.4 Potenzial des elastischen Stabes 1845.4.1 Einführung von Relativ- und Gesamtkinematen 1845.4.2 Verschiebungsansatz 1865.4.3 Dehnungs- und Verzerrungsmaß 1885.4.3.1 Allgemeine Herleitung für den Stabraum 1885.4.3.2 Vergleich mit den „Ingenieurdehnungen“ 1925.4.4 Elastizitätsgesetz 1935.4.5 Potenzial der inneren Kräfte 1945.4.5.1 Potenzialanteil aus Längsdehnungen: 1 i 1945.4.5.2 Darstellung der Potenzialterme aus Längsdehnungen 1965.4.5.3 Potenzialanteil aus Schubverzerrungen: 2 i 2025.5 Elementkräfte und Element-Steifigkeitsmatrizen (Relativkinematik) 2045.5.1 Variation (Ableitung) nach Relativkinematen 2045.5.2 Transformation der Relativkinematen auf Gesamtkinematen 2055.6 Gesamtstruktur und globales Gleichgewicht 2055.6.1 Gelenke und lokale Randbedingungen für Verwölbungen 2055.6.2 Transformation von Komponenten auf globale Basen 2065.6.2.1 Transformation von Knotenverschiebungen u, v, w 2075.6.2.2 Transformation von Knotendrehgrößen w2 , u3 , u2 2075.6.3 Globales Gleichgewicht und Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems 2085.7 Beispiel: St. VENANT-Torsion mit Normalkraft 2085.7.1 Allgemeines 2085.7.2 Verschiebungen und Verzerrungen des Stabes 2095.7.3 Verschiebungen und Verzerrungen bei St. VENANT-Torsion 2105.7.4 Gleichgewicht nach der energetischen Methode 2135.7.4.1 Potenzialanteil und Variation aus Längsdehnungen 2135.7.4.2 Potenzialanteil und Variation aus Schubverzerrungen 2175.8 Beispiel: Große Drehung einer Federplatte 2185.8.1 Potenzial und Gleichgewicht 2195.8.2 Berechnung der Momente: direkte Methode 2205.8.3 Berechnung der Momente über „Winkelgrößen“ 2225.8.3.1 Berechnung der „Drehwinkel“ 2225.8.3.2 Kontrolle der Drehmatrix T 2225.8.3.3 Ermittlung der Momente 2235.9 Zur Einleitung von Momenten mit richtungstreuer bzw. zirkulatorischer Charakteristik 2255.9.1 Änderung des Potenzials der äußeren Kräfte 2265.9.2 Beispiel zur Variation des Potenzials gem. 5.9.1 2275.9.3 Beispiel: Kragträger mit zirkulatorischer bzw. nicht-zirkulatorischer Last 2305.10 Praktische Anwendungsbeispiele 2325.10.1 Durchlaufträger mit Doppelbiegung 2325.10.1.1 Systeme und Belastung 2325.10.1.2 Ergebnisse für System 1 (3 Gabellager) 2345.10.1.3 Ergebnisse für System 2 (2 Gabellager) 2415.10.2 Balken mit Kragarm und exzentrischer Einzellast 2435.10.3 Schlussfolgerungen aus den Beispielen 2496 Einfluss der Güte der Stabtheorie auf das Konvergenzverhalten6.1 Einführung 2516.2 Potenzial für einachsige Biegung mit Druck 2526.3 Lineare Kräfte und Steifigkeitsmatrix 2526.4 Nichtlineare Kräfte und Steifigkeitsmatrix 2536.4.1 Variante 1: Berücksichtigung aller Terme, v linear 2546.4.2 Variante 2: ohne Terme 4. Ordnung, v linear 2556.4.3 Variante 3a: ohne Terme 4. Ordnung, v linear, N konstant 2566.4.4 Variante 3b: ohne Terme 4. Ordnung, v kubisch, N konstant 2576.5 Konvergenzverhalten und Bewertung 2587 Zusammenfassung und Ausblick 260Literatur und EDV-Programme 263Sachverzeichnis 268

... Insgesamt leistet das Buch einen wertvollen, aber auch notwendigen Beitragzum kritischen Umgang mit Statik-Software. Anhand von einfachen biseher schwierigen Beispielen werden dieAnwendungsgrenzen von Programmenund baustatischen Theorien ausgelotetund mögliche Defizite benannt.Vom Studierenden bis zum wissenschaftlichtätigen Bauingenieur liefertdas Buch (bei mit der Seitenzahl wachsendemSchwierigkeitsgrad) wertvolleErkenntnisse und Hinweise zum Verständnisder vielfach komplexen Zusammenhänge.Möge das Buch eine weiteVerbreitung finden und so auch denAutorenein wenig Lohn und Anerkennungfür ihre äußerst umfangreichenund detaillierten Untersuchungen sein.Helmut Rubin, Wien