Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum und elliptischer Differentialoperatoren

In diesem Lehrbuch wird der Spektralsatz fur selbstadjungierte Operatoren aus dem Resultat der Linearen Algebra uber die Diagonalisierung Hermitescher Matrizen hergeleitet. Dabei werden Lebesgue-Stieltjes-Integrale verwendet und der Auswahl- sowie der Konvergenzsatz von Helly uber monotone Funktionen bereitgestellt. Wir konstruieren die Spektralschar durch eine technisch aufwandige Approximation, wobei die Stieltjes-Umkehrformel im Zentrum des Beweises steht. Ein Ergebnis hiervon ist, dass selbstadjungierte Operatoren nicht nur ein diskretes, sondern auch ein kontinuierliches Spektrum besitzen. Die auftretenden Streueigenwerte koennen hierbei nicht durch Variationsmethoden gewonnen werden. Dann wenden wir uns der zentralen Frage zu, welche elliptischen Differentialoperatoren eine selbstadjungierte Fortsetzung besitzen und somit im Geltungsbereich des Spektralsatzes liegen. Hier unterscheiden wir zwischen stabilen elliptischen Differentialoperatoren auf beschrankten Gebieten und denen auf dem ganzen Raum, wie etwa dem Schroedingeroperator. Auch Laplace-Beltrami-Operatoren und der Schwarzsche Operator fur Minimalflachen werden im obigen Sinne als selbstadjungiert erkannt. Am Ende dieses Buches geben wir eine Einfuhrung in die Stoerungstheorie selbstadjungierter Operatoren. Hier weisen wir die analytische Abhangigkeit der Spektralschar vom Stoerungsparameter nach. Dieses Werk zur Spektraltheorie ist insbesondere fur das fortgeschrittene Mathematik- und Physikstudium geeignet, Kenntnisse in der Funktionalanalysis und der Theorie elliptischer Differentialgleichungen werden vorausgesetzt.