Einfhrung in die harmonische Analyse

Es bezeichne Si die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1 und 2 L (Si) den zum Lebesgue-Ma konstruierten komplexen Hilbert-Raum ber Si. 2 Jedem Punkt SES ist ein Translationsoperator y(s) von L
(Sl) in sich zugeordnet, l 2 welcher! E L (Si) in z ---> !(S-l z) berfhrt. Die Abbildung S --->y (s) ist eine Darstellung der Gruppe Si. Betrachtet man die jedem! E U (S 1) zugeordnete F ourier- Reihe L C zn, so erhlt
man eine Zerlegung von U(Sl) in die eindimensionalen n neZ Untervektorrume (Hn)nez, die aus allen komplexen Vielfachen der Funktionen z --->z" bestehen. Auf jedem der Rume (Hn)nez operieren die linearen Abbildungen
(y(s)seSI irreduzibel. Das Entwickeln in Fourier-Reihen kann demnach als Zerlegen der Darstellung y in irreduzible Teildarstellungen aufgefat werden. Diese zunchst ungewohnte Sicht der Fourier-Reihen hat sich als sehr
fruchtbar erwiesen. Nach heutiger Erkenntnis besteht das Hauptproblem der harmonischen Analyse in der Zerlegung linearer Gruppendarstellungen in "elementare" Teildarstellungen. Mit Hilfe dieser Abstraktion erhlt die Theorie
der Fourier-Reihen, der Fourier-Integrale und der Entwicklungen nach einer groen Klasse spezieller Funktionen einen gemeinsamen Rahmen. Zugleich wird deutlich, warum die Theorie der Fourier-Reihen aus dieser Sicht von relativ
elementarem Charakter ist: Die Kommutativitt der Gruppe Si impliziert die Eindimensionalitt der Vektorrume (Hn)nez. Das vorliegende Buch soll in die harmonische Analyse unter Betonung des gruppentheoretischen Standpunktes einfhren.