Kurvenintegrale und Begrndung der Funktionentheorie

Die von Cauchy 1814 begriindete Theorie der Funktionen einer komplexen Veranderlichen z= x+yi geht von gewissen Eigenschaften einer FunktionJ(z)= u(x, y);t-v(x, y)i aus, um daraus ihren analytischen Charakter, d. h. ihre Darstellung durch gewohnliche Potenzreihen, zu gewinnen. Wahrend aber Ca uch y dazu die Existenz und Stetigkeit der Ableitung J'(z) brauchte, bewiell Goursat 1900, daB auf die Stetigkeit, von!, (z) verzichtet werden kann. In der vorliegenden Schrift wid auch die Existenz vonI' (z) noch ausgellchahet und durch eine vielschwachere, aber unentbehrliche Bindung zwischen u und v ersetzt, um u+vi zu eincr analytischen Funktion von z zu machen. So wird hier ein Wun'sch erfiillt, in dem sich BoIza, wie er dem Verfasser erzahlte, 1912 in London mit Hil bert begegnete, daB namlich auch die Existenz von I' (z) durch gering ere Voraussetzungen ersetzt werden sollte. Diese ganze, n-unmehr abgeschlossene Entwicklung ist also reif fUr eine einheitliche selbstandige Darstellung, die zugleich eine Geschichte der Begriindung der Funktionen- theorie ist. Nur 110 kommen auch die einzelrien Schritte, zumal der letzte hier von uns getane zur reohten Gehung. Diese Darstellung braucht den, iibrigens auch fiir Physik und Technik wichtigen Begriff des reellen und dam it des komplexen Kurvenintegrals, weil er in den alteren Arbeiten iiber den "Cauchyschen Integralsatz" cine bed utende Rolle spielt und bei uns erst nachtraglich sich fur die Begriindung der Funktionentheorie als viillig entbehrlich erweist. Die De- finition solcher Integrale, mit der wir deshalb beg inn en miis en, kann .