Introduo Teoria da Homotopia Abstrata

Decidir quando dois espaos topolgicos dados so ou no homeomorfos uma tarefa rdua. De outro lado, o problema de classificao de estruturas algbricas , ao menos em primeira instncia, mais simples. A Topologia Algbrica visa construir regras, chamadas de functores, que nos permitam atacar o problema de classificao topolgica no contexto algbrico. Tais functores se dividem em duas classes: os grupos de homotopia e as teorias de cohomologia. Ambos possuem a propriedade comum de serem invariantes por homotopia e de possurem sequncias exatas longas associadas. Por outro lado, grupos de homotopia so puramente topolgicos, enquanto que as teorias de cohomologia possuem um passo algbrico intermedirio, ligado lgebra Homolgica, o que as torna muito mais fceis de computar. Esse paralelo entre topologia e lgebra sugere a existncia de uma linguagem mais abstrata capaz de unificar teoria da homotopia para espaos topolgicos e lgebra Homolgica. Esta linguagem, cujos fundamentos remontam os trabalhos de Quillen e Grothendieck, precisamente o assunto deste livro.